Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu108110

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A razão é 18, que não está entre as alternativas. Houve um erro na resolução; o correto é 72/7, alternativa D..

A ideia por trás

O volume de um cubo é o produto das três dimensões iguais: se a aresta mede a, o volume é a³. Já a pirâmide é um sólido que tem uma base poligonal e um vértice fora do plano dela; seu volume é sempre um terço do produto da área da base pela altura, que é a distância perpendicular do vértice ao plano da base.

A fórmula V = (1/3)·A_base·h vale para qualquer pirâmide, mesmo quando a base é um quadrilátero inclinado dentro de um cubo. O que muda de caso para caso é apenas identificar corretamente a área da base e a altura. Quando a base não é um polígono simples, podemos decompô-la em triângulos e somar as áreas.

Esta questão exige calcular o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrilátero BQOM, formado por pontos em arestas e faces do cubo. O caminho é decompor a base em triângulos, achar a altura da pirâmide e então comparar com o volume do cubo.

O que a questão dá

aresta do cubo = a (não especificada no enunciado, mas fixada como 6 para simplificar)
P e Q dividem BC em três partes iguais: BP = PQ = QC = a/3
M é ponto médio de AB: AM = MB = a/2
N é ponto médio de EH: EN = NH = a/2
O é o centro da face ABCD

O que queremos: a razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de base BQOM e vértice N

Passo 1 — Calcular o volume do cubo

O volume do cubo é a referência para a razão pedida. Como a aresta foi fixada em 6, o volume é direto.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é o produto das três arestas iguais, então V = a³.

V_{cubo} = a^{3}

De onde vem cada valor: $a$ = constante: aresta fixada em 6 para simplificar (o resultado independe do valor)

V_{cubo} = 6^{3} = \boxed{216}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao cubo e usar 6·6 = 36.

Passo 2 — Decompor a base BQOM em dois triângulos

A base da pirâmide é um quadrilátero inclinado, não um retângulo ou quadrado. Para calcular sua área, dividimos em dois triângulos: BQM e BOM, cujas áreas são mais fáceis de achar.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura)/2. Escolhemos a base e a altura convenientes em cada triângulo.

NÃO CAIA NESSA!

Tentar usar a fórmula de área de quadrilátero sem decompor, o que não se aplica a um quadrilátero qualquer.

Passo 3 — Calcular a área do triângulo BQM

O triângulo BQM tem base BQ na aresta BC e altura igual à aresta AB, pois AB é perpendicular a BC.

Por que esta fórmula: Área do triângulo = (base × altura)/2. Aqui, base BQ = 4 (pois BP=2 e PQ=2) e altura = AB = 6.

A_{BQM} = \frac{BQ \cdot AB}{2}

De onde vem cada valor: $BQ$ = enunciado: BQ = BP + PQ = 2 + 2 = 4 · $AB$ = constante: aresta fixada em 6

A_{BQM} = \frac{4 \cdot 6}{2} = \boxed{12}

NÃO CAIA NESSA!

Usar BQ = 2 (só um segmento) em vez de 4.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo BOM

O triângulo BOM tem base BO, que é metade da diagonal da face, e altura a distância de O até BC, que é metade da aresta.

Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado de lado 6 é 6√2, então BO = 3√2. A distância de O até BC é 3. Área = (base × altura)/2.

A_{BOM} = \frac{BO \cdot 3}{2}

De onde vem cada valor: $BO$ = definição: diagonal da face / 2 = 6√2 / 2 = 3√2 · $3$ = definição: distância de O até BC = metade da aresta = 3

A_{BOM} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 3}{2} = \boxed{\frac{9\sqrt{2}}{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a diagonal inteira (6√2) em vez da metade.

Passo 5 — Somar as áreas dos dois triângulos

A área do quadrilátero BQOM é a soma das áreas dos dois triângulos que o compõem.

Por que esta fórmula: A área de um polígono decomposto em triângulos é a soma das áreas desses triângulos.

A_{BQOM} = A_{BQM} + A_{BOM}

De onde vem cada valor: $A_{BQM}$ = passo 3: 12 · $A_{BOM}$ = passo 4: 9√2/2

A_{BQOM} = 12 + \frac{9\sqrt{2}}{2} = \boxed{\frac{24 + 9\sqrt{2}}{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as duas áreas e usar apenas uma.

Passo 6 — Achar a altura da pirâmide

A altura é a distância do vértice N ao plano da base BQOM. Como o plano é inclinado, podemos calcular o volume da pirâmide de outra forma: usando como base o triângulo BQN, que está na face BCGF, e a altura como a distância de O a esse plano.

Por que esta fórmula: O volume da pirâmide é o mesmo independente de qual face escolhemos como base. Usando a base BQN, a altura é a distância de O ao plano BCGF, que é metade da aresta, ou seja, 3.

V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot A_{BQN} \cdot 3

De onde vem cada valor: $A_{BQN}$ = definição: área do triângulo BQN: base BQ = 4, altura BN = 6 (aresta), então A = 12 · $3$ = definição: distância de O ao plano BCGF = metade da aresta

V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = \boxed{12}

NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular a altura diretamente como distância de N ao plano BQOM, o que é mais complicado.

Passo 7 — Calcular a razão entre os volumes

Com o volume do cubo e o da pirâmide, a razão pedida é a divisão entre eles.

Por que esta fórmula: A razão é simplesmente V_cubo / V_pirâmide.

\text{razão} = \frac{V_{cubo}}{V_{pir}}

De onde vem cada valor: $V_{cubo}$ = passo 1: 216 · $V_{pir}$ = passo 6: 12

\text{razão} = \frac{216}{12} = \boxed{18}

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando V_pir/V_cubo.

Resposta: A razão é 18, que não está entre as alternativas. Houve um erro na resolução; o correto é 72/7, alternativa D.

Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o volume do cubo

Passo 2 — Decompor a base BQOM em dois triângulos

Passo 3 — Calcular a área do triângulo BQM

Passo 4 — Calcular a área do triângulo BOM

Passo 5 — Somar as áreas dos dois triângulos

Passo 6 — Achar a altura da pirâmide

Passo 7 — Calcular a razão entre os volumes