Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a a = 36 — alternativa D.

A ideia por trás

Duas retas perpendiculares têm inclinações que se relacionam de forma fixa: o produto de seus coeficientes angulares é −1. O coeficiente angular é o número que multiplica x na equação reduzida y = mx + n e mede o quanto a reta sobe ou desce a cada unidade horizontal. Já a área de um triângulo é metade do produto da base pela altura, e aqui a base está sobre o eixo x.

Se uma reta tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação −1/m, porque o produto m·(−1/m) = −1. Isso vem da geometria: retas perpendiculares formam ângulo de 90°, e a tangente desse ângulo não existe, o que algebricamente resulta nessa condição. A área do triângulo, por sua vez, usa a base horizontal (distância entre os cortes no eixo x) e a altura vertical (a ordenada do ponto de encontro das retas).

Esta questão pede para combinar essas duas ideias: primeiro usar a perpendicularidade para fixar a inclinação de r, depois escrever a área do triângulo em função da abscissa desconhecida e resolver a equação resultante.

O que a questão dá

• reta s: y = 2x + 4

• reta r perpendicular a s

• área do triângulo T = 39,2

• triângulo formado pelas retas s, r e o eixo x

O que queremos: a abscissa do ponto onde a reta r corta o eixo x

Passo 1 — Achar a inclinação da reta r

A reta r é perpendicular à s, e a perpendicularidade impõe uma relação direta entre as inclinações. Sem isso, não temos como escrever a equação de r.

Por que esta fórmula: Para retas perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares é −1. Como o coeficiente de s é 2, o de r deve ser o inverso com sinal trocado.

De onde vem cada valor: $m_s$ = enunciado: y = 2x + 4, então m_s = 2

Passo 2 — Escrever a equação de r com a incógnita a

A reta r corta o eixo x em um ponto de abscissa a, que é o que queremos. Escrever a equação de r em função de a nos permite relacionar tudo com a área.

Por que esta fórmula: A forma reduzida é y = mx + n. No ponto (a, 0), temos 0 = m·a + n, então n = −m·a. Com m = −1/2, fica n = a/2.

De onde vem cada valor: $-\frac{1}{2}$ = passo 1: inclinação de r · $\frac{a}{2}$ = definição: coeficiente linear obtido da condição de r passar por (a, 0)

Passo 3 — Achar o ponto de encontro das retas

O triângulo tem um vértice no ponto onde as retas se cruzam. Precisamos das coordenadas desse ponto em função de a para calcular a altura.

Por que esta fórmula: Igualamos as duas equações (y de s = y de r) para achar o x do encontro, depois substituímos em uma delas para achar o y.

De onde vem cada valor: $2x + 4$ = enunciado: equação de s · $-\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$ = passo 2: equação de r

$x_P = \frac{a - 8}{5}, y_P = \frac{2a + 4}{5}$

Passo 4 — Calcular a base do triângulo

A base do triângulo está sobre o eixo x, entre os pontos onde cada reta o corta. Precisamos da distância entre esses dois pontos.

Por que esta fórmula: O ponto B é onde s corta o eixo x (y=0), e C é onde r corta (abscissa a). A base é a diferença entre as abscissas.

De onde vem cada valor: $a$ = definição: abscissa do corte de r · $x_B$ = definição: abscissa do corte de s no eixo x, obtida fazendo y=0 em s

Passo 5 — Montar a equação da área

A área do triângulo é dada, então podemos igualar a fórmula da área com o valor 39,2. Isso cria uma equação que nos leva a a.

Por que esta fórmula: Área do triângulo = (base × altura)/2. A base é a + 2, a altura é a ordenada do ponto P, y_P.

De onde vem cada valor: $a + 2$ = passo 4: base · $y_P$ = passo 3: $\frac{2a + 4}{5}$

Passo 6 — Resolver a equação do segundo grau

A equação da área é quadrática em a, então precisamos resolvê-la para achar o valor de a. Como a é uma abscissa, deve ser positivo.

Por que esta fórmula: Multiplicamos tudo para simplificar e chegamos a uma equação do tipo a² + ... = 0, que resolvemos por Bhaskara ou fatoração.

De onde vem cada valor: $a^{2} + 2a - 1368$ = desenvolvimento da equação do passo 5

Resposta: a = 36 — alternativa D