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Questão de Matemática — Potência — VUNESP 2025

MatemáticaPotência
Código
vu108114
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Seja a unidade imaginária tal que i² = –1. A expressão Imagem associada para resolução da questão é igual a
  1. A5.
  2. B5i.
  3. C–5i.
  4. D–25.
  5. E25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Números Complexos: Propriedades de Potenciação

Gabarito: letra E. A expressão é resolvida simplificando os termos do numerador e denominador através da fatoração de sinais e das propriedades de potências de mesma base. O resultado final da simplificação é 52=255^2 = 25.

Para resolver, observe que (−2−i)=−(2+i)(-2 - i) = -(2 + i) e (i−2)=−(2−i)(i - 2) = -(2 - i). Substituindo na expressão original:

(2+i)2025⋅(2−i)25[−(2+i)]2023⋅[−(2−i)]23\frac{(2 + i)^{2025} \cdot (2 - i)^{25}}{[-(2 + i)]^{2023} \cdot [-(2 - i)]^{23}}

Como os expoentes 20232023 e 2323 são ímpares, o sinal negativo é mantido:

(2+i)2025⋅(2−i)25−(2+i)2023⋅−(2−i)23=(2+i)2025⋅(2−i)25(2+i)2023⋅(2−i)23\frac{(2 + i)^{2025} \cdot (2 - i)^{25}}{-(2 + i)^{2023} \cdot -(2 - i)^{23}} = \frac{(2 + i)^{2025} \cdot (2 - i)^{25}}{(2 + i)^{2023} \cdot (2 - i)^{23}}

Aplicando a propriedade de divisão de potências de mesma base (am/an=am−na^m / a^n = a^{m-n}):

(2+i)2025−2023⋅(2−i)25−23=(2+i)2⋅(2−i)2(2 + i)^{2025-2023} \cdot (2 - i)^{25-23} = (2 + i)^2 \cdot (2 - i)^2

Como os expoentes são iguais, podemos agrupar as bases:

[(2+i)(2−i)]2[(2 + i)(2 - i)]^2

O produto (2+i)(2−i)(2 + i)(2 - i) é um produto notável da forma (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2:

[22−i2]2=[4−(−1)]2=[4+1]2=52=25[2^2 - i^2]^2 = [4 - (-1)]^2 = [4 + 1]^2 = 5^2 = 25
  1. 1Fatorar sinais negativos
  2. 2Cancelar sinais (expoentes ímpares)
  3. 3Dividir potências de mesma base
  4. 4Agrupar bases com expoente comum
  5. 5Calcular produto dos conjugados
  6. 6Elevar ao quadrado: 5² = 25
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Alternativa A — ❌ Incorreta

O resultado obtido é 2525, não 55. O erro ocorre ao ignorar a elevação ao quadrado resultante da simplificação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O resultado é um número real positivo, não um número imaginário. A unidade ii é eliminada no produto dos conjugados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O resultado é positivo. O erro decorre de uma falha na manipulação dos sinais ou na aplicação da propriedade dos conjugados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O resultado é 2525, não −25-25. O erro ocorre ao tratar incorretamente o sinal de i2i^2 ou ao errar a potência final.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Corresponde ao valor calculado de 2525, obtido pela simplificação correta das potências e pelo produto dos conjugados complexos.

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