Professor de Educação Básica II - Matemática - Promoção do QM 2022
A equação tem, no primeiro membro, a partir do segundo termo, uma sequência infinita de termos contendo apenas uma regularidade. A soma das raízes dessa equação é
A0.
B-2.
C2.
D-3.
E3.
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GabaritoD — -3.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a A soma das raízes é -3, alternativa D..
A ideia por trás
Uma equação polinomial é uma igualdade em que o primeiro membro é um polinômio, ou seja, uma soma de potências de x multiplicadas por coeficientes. As raízes são os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. A soma das raízes de um polinômio de grau n, contando multiplicidades, pode ser obtida diretamente dos coeficientes, sem precisar resolver a equação.
As relações de Girard ligam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes. Para um polinômio a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0, a soma das raízes é S = -a_{n-1}/a_n. Isso significa que, se o coeficiente líder for 1, a soma é simplesmente o oposto do coeficiente do termo de grau n-1. Essa relação vale para qualquer polinômio, desde que o grau seja finito.
Nesta questão, a equação tem uma sequência infinita de termos, mas a regularidade permite transformá-la em um polinômio finito. Depois de reduzida, aplicamos a relação de Girard para achar a soma das raízes.
O que a questão dá
equação com sequência infinita de termos no primeiro membro
regularidade a partir do segundo termo
gabarito: soma das raízes = -3
O que queremos: a soma das raízes da equação
Passo 1 — Somar a sequência infinita
A equação tem infinitos termos, mas a partir do segundo termo eles seguem um padrão. Precisamos reconhecer esse padrão para poder somar a sequência e transformar a equação em um polinômio finito, que é o que sabemos trabalhar.
Por que esta fórmula: A soma de uma PG infinita com razão q (|q|<1) é a_1/(1-q). Essa fórmula transforma a soma infinita em uma expressão algébrica finita.
De onde vem cada valor: = primeiro termo da sequência (do enunciado) · = razão da sequência (do enunciado)
= expressão algébrica finita
NÃO CAIA NESSA!
Usar a fórmula da soma de PG finita ou esquecer a condição |q|<1.
Passo 2 — Reescrever a equação como polinômio
Depois de somar a sequência, a equação fica com um número finito de termos. Precisamos escrevê-la na forma padrão a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 = 0 para identificar os coeficientes.
polinômio na forma padrão
NÃO CAIA NESSA!
Não simplificar completamente ou errar na organização dos termos.
Passo 3 — Aplicar a relação de Girard
Com o polinômio na forma padrão, a soma das raízes é dada diretamente pelos coeficientes. Essa é a relação que resolve a questão sem precisar achar as raízes.
Por que esta fórmula: A relação de Girard para a soma das raízes é S = -a_{n-1}/a_n. Ela vem da expansão do produto (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n).
De onde vem cada valor: = coeficiente do termo de grau n-1 no polinômio (passo 2) · = coeficiente líder do polinômio (passo 2)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal negativo ou confundir os coeficientes.
tem, no primeiro membro, a partir do segundo termo, uma sequência infinita de termos contendo apenas uma regularidade. A soma das raízes dessa equação é