Questão de Estatística — Conhecimentos de estatística — VUNESP 2025

Desvio padrão de uma lista de números

Gabarito: letra E. Para a lista 15, 19, 21, 10, 15, 22, 21, 21, o desvio padrão populacional é aproximadamente 3,87, que está entre 3 e 4. O cálculo envolve a média (18), a soma dos quadrados dos desvios (120) e a raiz quadrada da variância (120/8 = 15), resultando em √15 ≈ 3,87.

O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada e representa, em termos absolutos, o quanto os valores de um conjunto se afastam, em média, da média aritmética. Ele é obtido pela raiz quadrada da variância, que por sua vez é a média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média. Para uma população, a variância é calculada dividindo a soma dos quadrados dos desvios pelo número total de elementos (n); para uma amostra, divide-se por (n − 1).

A banca explora a distinção entre desvio padrão populacional e amostral. Como o enunciado afirma que a lista é uma população, o cálculo deve usar o denominador n = 8, e não n − 1 = 7. Se o candidato usasse o denominador amostral, obteria um desvio padrão de aproximadamente 4,14, que cairia no intervalo da alternativa B (4 e 5) — uma armadilha clássica.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Média populacional (μ):

   $\mu = \frac{15 + 19 + 21 + 10 + 15 + 22 + 21 + 21}{8} = \frac{144}{8} = 18$

1. Desvios em relação à média (xᵢ − μ):

   • 15 − 18 = −3

   • 19 − 18 = 1

   • 21 − 18 = 3

   • 10 − 18 = −8

   • 15 − 18 = −3

   • 22 − 18 = 4

   • 21 − 18 = 3

   • 21 − 18 = 3

1. Quadrados dos desvios:

   • (−3)² = 9

   • (1)² = 1

   • (3)² = 9

   • (−8)² = 64

   • (−3)² = 9

   • (4)² = 16

   • (3)² = 9

   • (3)² = 9

Soma dos quadrados: 9 + 1 + 9 + 64 + 9 + 16 + 9 + 9 = 126

1. Variância populacional (σ²):

   $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n} = \frac{126}{8} = 15,75$

1. Desvio padrão populacional (σ):

   $\sigma = \sqrt{15,75} \approx 3,97$

O valor 3,97 está entre 3 e 4, confirmando a alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo 6 e 7 está muito acima do valor calculado (≈ 3,97). Esse intervalo não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados; é um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo 4 e 5 corresponde ao desvio padrão amostral (s ≈ 4,24), que usa o denominador n − 1 = 7. Como a lista é uma população, o cálculo correto usa n = 8, resultando em ≈ 3,97. A banca explora exatamente essa confusão entre desvio padrão populacional e amostral.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo 7 e 8 está muito acima do valor real (≈ 3,97). Não há relação com a variância (15,75) nem com qualquer outra medida calculada; é um distrator aleatório.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo 5 e 6 também está acima do valor correto (≈ 3,97). Não corresponde a nenhum cálculo direto; é outro distrator numérico.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O desvio padrão populacional é √15,75 ≈ 3,97, que está entre 3 e 4. O cálculo correto usa a média 18, a soma dos quadrados dos desvios 126 e o denominador n = 8, pois a lista é uma população.

Gabarito: letra E.