Questão de Matemática — Equações Polinomiais — VUNESP 2025

Equações Polinomiais e a Cadeia de Problemas Equivalentes

Gabarito: letra A. A cadeia de problemas apresentada é válida porque cada etapa (A → B → C → D → E) transforma a equação original em uma equivalente, preservando o conjunto solução, até chegar a uma equação do 2º grau que sabemos resolver. A alternativa correta é a que afirma que todos os problemas são equivalentes, formando uma cadeia de problemas auxiliares.

A técnica descrita por Polya, conhecida como "cadeia de problemas auxiliares equivalentes", é uma estratégia poderosa de resolução. A ideia central é: se não sabemos resolver diretamente o problema A, procuramos um problema B que seja equivalente a A (ou seja, que tenha a mesma solução), depois um problema C equivalente a B, e assim sucessivamente, até chegarmos a um problema que sabemos resolver. A solução desse último problema será, por transitividade, a solução do problema original.

No caso da equação $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$, a cadeia provavelmente segue estes passos:

1. Problema A: Resolver $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ (equação biquadrada).

2. Problema B: Substituir $y = x^2$, transformando a equação em $y^2 - 13y + 36 = 0$ (equação do 2º grau).

3. Problema C: Resolver a equação do 2º grau $y^2 - 13y + 36 = 0$.

4. Problema D: Encontrar as raízes $y_1 = 4$ e $y_2 = 9$.

5. Problema E: Substituir de volta $x^2 = 4$ e $x^2 = 9$, encontrando $x = \pm 2$ e $x = \pm 3$.

Cada uma dessas transformações é uma equivalência lógica: a solução de um problema é exatamente a solução do problema anterior. A substituição $y = x^2$ não altera o conjunto solução, apenas o reescreve de forma mais simples. Resolver a equação do 2º grau em $y$ e depois voltar para $x$ é um processo reversível, que não perde nem adiciona soluções.

A pegadinha desta questão está em identificar que a cadeia é, de fato, uma cadeia de equivalências. As alternativas B, C, D e E tentam induzir o aluno a acreditar que algum elo da corrente está quebrado, mas todas as transformações são válidas e preservam a solução. A alternativa A é a única que reconhece a validade completa da cadeia.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa afirma que todos os problemas são equivalentes, formando uma cadeia de problemas auxiliares. Isso está correto. Cada etapa da cadeia (A → B → C → D → E) é uma transformação que preserva o conjunto solução. A substituição de variáveis, a resolução da equação do 2º grau e a volta à variável original são operações reversíveis e equivalentes. Portanto, a solução do problema E ($x = \pm 2$ e $x = \pm 3$) é exatamente a solução do problema A.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que os problemas B e C não são equivalentes, o que invalidaria a cadeia. Isso é falso. O problema B é a equação $y^2 - 13y + 36 = 0$ (após a substituição $y = x^2$), e o problema C é a resolução dessa equação do 2º grau. São equivalentes, pois a solução de C (os valores de $y$) é exatamente o que se busca em B. A equivalência entre B e C é perfeita.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os problemas A e B não são equivalentes. Isso também é falso. O problema A é a equação original $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$, e o problema B é a equação transformada $y^2 - 13y + 36 = 0$ com $y = x^2$. A substituição é uma equivalência: para cada solução $x$ de A, existe um $y = x^2$ que é solução de B, e vice-versa. A equivalência entre A e B é a base de toda a cadeia.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os problemas C e D não são equivalentes. O problema C é a equação do 2º grau $y^2 - 13y + 36 = 0$, e o problema D é a sua solução, $y_1 = 4$ e $y_2 = 9$. São equivalentes, pois a solução de D é exatamente o que se busca em C. A equivalência entre C e D é direta e correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os problemas D e E não são equivalentes. O problema D é a solução $y_1 = 4$ e $y_2 = 9$, e o problema E é a substituição de volta $x^2 = 4$ e $x^2 = 9$, resultando em $x = \pm 2$ e $x = \pm 3$. São equivalentes, pois a solução de E é exatamente a consequência de D. A equivalência entre D e E é a etapa final que conecta a solução transformada à solução original.

Gabarito: letra A