Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2018
O trabalho com logaritmo é proposto no Ensino Médio. Sendo assim, conhecer propriedades de logaritmo e algumas relações com outros conteúdos é essencial para que um professor possa desenvolver o seu trabalho em sala de aula.Portanto, considere logc b = 3 e a função f: |N → |R , dada por y = f(x) = (logb c⁶ )x .Neste caso, a sequência f(0), f(1), f(2), ..., f(x), é uma progressão geométrica de razão
A1
B5/2
C1/2
D2
E3/2
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GabaritoD — 2
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 2 (alternativa D).
A ideia por trás
Logaritmo responde à pergunta: 'qual expoente devo usar na base para obter um certo número?'. Por exemplo, log_c b = 3 significa que c^3 = b. A função exponencial f(x) = a^x gera uma progressão geométrica: cada termo é o anterior multiplicado pela base a, então a razão da PG é exatamente a base a. Nesta questão, precisamos descobrir o valor da base log_b c^6 usando as propriedades dos logaritmos, principalmente a mudança de base, que relaciona log_b c com log_c b.
O que a questão dá
log_c b = 3
f(x) = (log_b c^6)^x
O que queremos: a razão da progressão geométrica f(0), f(1), f(2), ...
Passo 1 — Aplicar a propriedade do logaritmo da potência
A base da função exponencial é log_b c^6. Para simplificar, usamos a propriedade que diz que o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base: log_b(c^6) = 6 * log_b c. Isso separa o expoente 6, facilitando o próximo passo.
Por que esta fórmula: A propriedade log_b(a^n) = n * log_b a é uma das regras básicas dos logaritmos, válida para qualquer base positiva diferente de 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: base do logaritmo · = enunciado: argumento do logaritmo · = enunciado: expoente de c
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar pelo expoente 6, achando que log_b c^6 = log_b c.
Passo 2 — Usar a mudança de base para inverter o logaritmo
Precisamos do valor de log_b c, mas o enunciado fornece log_c b = 3. A mudança de base relaciona os dois: log_b c = 1 / log_c b. Isso é essencial porque a base e o argumento estão trocados.
Por que esta fórmula: A fórmula de mudança de base log_b a = log_c a / log_c b, com a = c, dá log_b c = log_c c / log_c b = 1 / log_c b, pois log_c c = 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: log_c b = 3
NÃO CAIA NESSA!
Achar que log_b c = 3, invertendo erroneamente a relação.
Passo 3 — Calcular a base da função exponencial
Com o valor de log_b c em mãos, substituímos na expressão do passo 1 para obter a base da função f(x). Esse valor será a razão da progressão geométrica.
Por que esta fórmula: A base é log_b c^6, que já simplificamos para 6 * log_b c. Agora basta substituir log_b c pelo valor encontrado.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2: 1/3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação 6 * 1/3, ou usar o valor errado de log_b c.
Passo 4 — Identificar a razão da progressão geométrica
A função f(x) = 2^x gera a sequência 1, 2, 4, 8, ... Cada termo é o anterior multiplicado por 2, então a razão da PG é 2. Esse é o valor que procuramos.
Por que esta fórmula: Numa PG, a razão q é o fator constante entre termos consecutivos: f(x+1)/f(x) = a^(x+1)/a^x = a. Portanto, a razão é a base a.
De onde vem cada valor: = passo 3: 2
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a razão com o primeiro termo ou com o expoente.