Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: posição relativa de retas

Gabarito: letra C — as retas g e h são concorrentes, ou seja, possuem coeficientes angulares diferentes. As sentenças q e r representam retas com coeficientes angulares distintos, pois possuem coeficientes de x e y diferentes (a, b em q; d, e em r), o que garante que não são paralelas e, portanto, se cruzam em um ponto. A análise se baseia na comparação dos coeficientes das equações gerais das retas.

Para resolver esta questão, precisamos entender como identificar a posição relativa entre duas retas a partir de suas equações. Toda reta em um plano cartesiano pode ser representada por uma equação geral da forma $Ax + By + C = 0$, onde A, B e C são números reais, com A e B não simultaneamente nulos. O coeficiente angular (a inclinação) de uma reta nessa forma é dado por $m = -\frac{A}{B}$. É esse coeficiente que determina se duas retas são paralelas (mesmo coeficiente angular) ou concorrentes (coeficientes angulares diferentes).

Vamos analisar cada sentença dada, calculando seus coeficientes angulares:

• p: $ax + by + c = 0$ → coeficiente angular $m_p = -\frac{a}{b}$

• q: $ax + by + f = 0$ → coeficiente angular $m_q = -\frac{a}{b}$

• r: $dx + ey + f = 0$ → coeficiente angular $m_r = -\frac{d}{e}$

• s: $ex + fy = 0$ → coeficiente angular $m_s = -\frac{e}{f}$

Observamos que as retas p e q têm exatamente os mesmos coeficientes angulares ($m_p = m_q = -\frac{a}{b}$). Isso significa que elas são paralelas (ou coincidentes, se também tivessem o mesmo coeficiente linear, o que não ocorre, pois $c \neq f$). Portanto, p e q não podem ser as retas concorrentes g e h da figura.

As demais retas (r e s) têm coeficientes angulares que dependem de constantes diferentes ($d, e, f$), que são números reais distintos e não nulos. Como não há relação de proporcionalidade garantida entre eles, o coeficiente angular de r ($-\frac{d}{e}$) é, em geral, diferente do coeficiente angular de s ($-\frac{e}{f}$) e também diferente do coeficiente de p/q ($-\frac{a}{b}$).

A figura mostra duas retas que se cruzam em um ponto, ou seja, são concorrentes. Para que duas retas sejam concorrentes, basta que seus coeficientes angulares sejam diferentes. A única alternativa que apresenta duas retas com coeficientes angulares necessariamente diferentes é a que combina q e r, pois $m_q = -\frac{a}{b}$ e $m_r = -\frac{d}{e}$, e não há garantia de que $\frac{a}{b} = \frac{d}{e}$. Como a, b, d, e são números reais distintos e não nulos, a igualdade $\frac{a}{b} = \frac{d}{e}$ implicaria em uma relação específica entre eles que não é dada, logo, na ausência dessa informação, as retas são concorrentes.

A pegadinha da questão está em identificar que p e q são paralelas (mesmo coeficiente angular) e, portanto, não podem ser as retas concorrentes. O candidato que não calcula o coeficiente angular pode ser induzido a escolher a alternativa D (p e q), que é justamente o par de retas paralelas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A sugere as retas s e p. A reta s tem coeficiente angular $m_s = -\frac{e}{f}$ e a reta p tem coeficiente angular $m_p = -\frac{a}{b}$. Embora seja possível que sejam concorrentes, não é uma relação garantida, pois depende dos valores específicos de a, b, e, f. No entanto, o erro principal é que a alternativa C é a única que garante a concorrência, pois q e r têm coeficientes angulares que necessariamente diferem, já que a, b, d, e são todos distintos e não há relação de proporcionalidade entre eles. A alternativa A não é a melhor escolha, pois não há garantia de concorrência, mas a questão pede as sentenças que podem ser associadas, e a análise mais segura é a que garante a condição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B sugere as retas r e s. A reta r tem coeficiente angular $m_r = -\frac{d}{e}$ e a reta s tem coeficiente angular $m_s = -\frac{e}{f}$. Novamente, não há garantia de que sejam concorrentes, pois depende dos valores de d, e, f. A alternativa C é mais robusta, pois a concorrência entre q e r é garantida pela distinção dos coeficientes.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa C sugere as retas q e r. A reta q tem coeficiente angular $m_q = -\frac{a}{b}$ e a reta r tem coeficiente angular $m_r = -\frac{d}{e}$. Como a, b, d, e são números reais distintos e não nulos, não há como garantir que $\frac{a}{b} = \frac{d}{e}$. Portanto, os coeficientes angulares são diferentes, o que caracteriza retas concorrentes. Essa é a única alternativa que garante a condição de concorrência, sendo a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D sugere as retas p e q. A reta p tem coeficiente angular $m_p = -\frac{a}{b}$ e a reta q tem coeficiente angular $m_q = -\frac{a}{b}$. Como os coeficientes angulares são iguais, as retas p e q são paralelas (ou coincidentes, mas como $c \neq f$, são paralelas distintas). Portanto, não podem ser as retas concorrentes g e h da figura.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E sugere as retas q e s. A reta q tem coeficiente angular $m_q = -\frac{a}{b}$ e a reta s tem coeficiente angular $m_s = -\frac{e}{f}$. Embora seja possível que sejam concorrentes, não é uma relação garantida, pois depende dos valores específicos de a, b, e, f. A alternativa C é a única que garante a concorrência, pois q e r têm coeficientes angulares que necessariamente diferem.

Gabarito: letra C