Questão de Matemática — Álgebra Linear — VUNESP 2025

Sistemas lineares 2×2: classificação pelo determinante

Gabarito: letra C. Para um sistema linear com o mesmo número de equações e incógnitas, o determinante da matriz dos coeficientes ($D = ad - bc$) decide a classificação: se $D \neq 0$, o sistema é possível e determinado (solução única); se $D = 0$, ele é possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução), dependendo dos determinantes das matrizes substituídas. A alternativa C é a única que expressa corretamente essa relação.

O que é um sistema linear e por que o determinante decide

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que devem ser satisfeitas simultaneamente. No caso de duas equações e duas incógnitas, como o da questão, ele pode ser escrito na forma:

A matriz dos coeficientes é $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, e seu determinante é $D = ad - bc$. Esse valor é a chave para classificar o sistema, porque ele indica se as equações são "independentes" entre si.

• Se $D \neq 0$, as equações representam retas que se cruzam em um único ponto: existe uma única solução — o sistema é possível e determinado.

• Se $D = 0$, as retas são paralelas. Elas podem ser coincidentes (infinitas soluções — possível e indeterminado) ou distintas (nenhuma solução — impossível). Para distinguir esses dois casos, calculam-se os determinantes $D_x$ e $D_y$, obtidos substituindo a coluna dos coeficientes de $x$ (ou de $y$) pelos termos independentes.

Essa é a essência do Teorema de Cramer, que vale para sistemas com número de equações igual ao de incógnitas. O teorema afirma que, se $D \neq 0$, o sistema é possível e determinado, e a solução é dada por $x = \frac{D_x}{D}$ e $y = \frac{D_y}{D}$. Quando $D = 0$, há duas possibilidades:

• Se $D_x = D_y = 0$, o sistema é possível e indeterminado (desde que haja pelo menos uma solução).

• Se pelo menos um dos determinantes $D_x$ ou $D_y$ for diferente de zero, o sistema é impossível.

Exemplo prático

Considere o sistema $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$. Aqui, $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, então $D = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0$. Como o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado — e, de fato, a solução única é $x=1$, $y=2$.

Agora, se tivéssemos $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$, teríamos $D = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$. A segunda equação é o dobro da primeira, então as retas são coincidentes: há infinitas soluções — possível e indeterminado. Já em $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 11 \end{cases}$, $D = 0$ também, mas as retas são paralelas distintas: não há solução — impossível.

A pegadinha da questão

A banca explora a confusão mais comum nesse tema: inverter o papel do determinante. Muitos candidatos lembram que "$D = 0$" está associado a algo especial, mas trocam os casos. A regra de ouro é:

Guarde essa tabela: é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o sistema é possível determinado quando $ad - bc = 0$ e impossível quando $ad - bc \neq 0$. Inverte completamente a regra: é justamente o contrário. Quando $D \neq 0$, o sistema tem solução única (possível e determinado); quando $D = 0$, ele pode ser indeterminado ou impossível, mas nunca determinado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que é possível determinado quando $ad - bc = 0$ e possível indeterminado quando $ad - bc \neq 0$. Novamente, inverte a condição. Com $D \neq 0$, o sistema é determinado, não indeterminado. E com $D = 0$, ele não é determinado — pode ser indeterminado ou impossível.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a afirmação verdadeira. Quando $ad - bc = 0$ (ou seja, $D = 0$), o sistema é possível e indeterminado (se houver solução) ou impossível — mas nunca determinado. Quando $ad - bc \neq 0$ ($D \neq 0$), o sistema é possível e determinado, com solução única. A alternativa C expressa exatamente essa relação: indeterminado quando $D = 0$ e determinado quando $D \neq 0$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o sistema é impossível quando $ad - bc = 0$ e possível indeterminado quando $ad - bc \neq 0$. O primeiro caso está parcialmente certo (com $D = 0$ o sistema pode ser impossível), mas não é a única possibilidade — ele também pode ser indeterminado. O segundo caso está errado: com $D \neq 0$, o sistema é determinado, não indeterminado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que o sistema é possível determinado independentemente dos valores de $a$, $b$, $c$ e $d$. Isso é falso: se $ad - bc = 0$, o determinante é nulo e o sistema não pode ser determinado. A classificação depende crucialmente do valor de $D$.

Gabarito: letra C