Questão de Matemática — Trigonometria — VUNESP 2025

Funções trigonométricas: amplitude, período e deslocamento vertical

Gabarito: letra B — a função que melhor representa o mar é $y = f(x) = \frac{1}{2}\sin(x) - 5$, pois a figura mostra uma onda senoidal com amplitude $\frac{1}{2}$ (distância entre o eixo médio e as cristas/vales) e deslocamento vertical de $-5$ (linha média em $y = -5$).

A questão pede para identificar a função trigonométrica que modela a superfície do mar, representada por uma onda. Toda função seno ou cosseno tem a forma geral $y = A \cdot \sin(Bx + C) + D$ ou $y = A \cdot \cos(Bx + C) + D$, onde:

• $|A|$ é a amplitude — metade da distância entre o valor máximo e o mínimo da função. No gráfico, é a distância vertical entre a linha média (eixo central da onda) e uma crista (ponto de máximo) ou um vale (ponto de mínimo).

• $B$ afeta o período — o comprimento de um ciclo completo. O período é $\frac{2\pi}{|B|}$. Nas alternativas, todas têm $B = 1$, então o período é $2\pi$ em todas.

• $C$ é a fase — desloca a onda horizontalmente. Nas alternativas, $C = 0$.

• $D$ é o deslocamento vertical — move a onda para cima ou para baixo. Nas alternativas, $D = -5$, então a linha média é $y = -5$.

As linhas pontilhadas horizontais que tangenciam as cristas e os vales indicam os valores máximo e mínimo da função. Se a linha que tangencia as cristas está em $y = -4,5$ e a que tangencia os vales está em $y = -5,5$, a amplitude é $A = \frac{-4,5 - (-5,5)}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$. O deslocamento vertical é a média: $D = \frac{-4,5 + (-5,5)}{2} = -5$. A diferença entre seno e cosseno está na fase: $\sin(x)$ começa em $0$ (na origem) e sobe; $\cos(x)$ começa em $1$ (máximo) e desce. Para decidir qual usar, observe na figura se a onda, no ponto de referência (geralmente $x = 0$), está no valor médio subindo (seno), no valor médio descendo (seno com sinal trocado), no máximo (cosseno) ou no mínimo (cosseno com sinal trocado). A pegadinha da banca está em confundir amplitude com o coeficiente que multiplica a função. As alternativas com coeficiente $1$ (C e D) têm amplitude $1$, o que significa que a onda variaria entre $y = -6$ e $y = -4$. Se a figura mostra uma variação menor (entre $-5,5$ e $-4,5$), essas alternativas estão erradas. As alternativas com coeficiente $\frac{1}{2}$ (A, B e E) têm amplitude $0,5$, que é a correta se a distância entre crista e vale for $1$. Guarde a relação entre o gráfico e os parâmetros: a amplitude é a "altura" da onda a partir do eixo médio, e o deslocamento vertical é a posição desse eixo. É exatamente essa leitura que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$y = \frac{1}{4}\cos(x) - 5$ tem amplitude $\frac{1}{4}$, ou seja, a onda variaria entre $y = -5,25$ e $y = -4,75$. Se a figura mostra uma amplitude de $\frac{1}{2}$ (distância de $0,5$ entre o eixo médio e as cristas/vales), essa alternativa está errada por subestimar a amplitude. O coeficiente $\frac{1}{4}$ não corresponde à distância observada entre as linhas pontilhadas.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$y = \frac{1}{2}\sin(x) - 5$ tem amplitude $\frac{1}{2}$ e deslocamento vertical $-5$. Se a figura mostra uma onda senoidal (começa no valor médio e sobe) com cristas em $y = -4,5$ e vales em $y = -5,5$, esta é a representação correta. A amplitude $\frac{1}{2}$ bate com a distância entre as linhas pontilhadas e o eixo médio, e o deslocamento $-5$ posiciona a onda na faixa correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$y = \sin(x) - 5$ tem amplitude $1$, o que faria a onda variar entre $y = -6$ e $y = -4$. Se a figura mostra uma amplitude menor (por exemplo, $\frac{1}{2}$), esta alternativa está errada por superestimar a amplitude. O coeficiente $1$ indica que a distância entre crista e vale seria $2$, o que não corresponde à figura se as linhas pontilhadas estão mais próximas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$y = \cos(x) - 5$ tem amplitude $1$, o mesmo problema da alternativa C: a onda variaria entre $y = -6$ e $y = -4$. Além disso, o cosseno começa no máximo em $x = 0$, o que pode não corresponder à fase da onda na figura. A amplitude $1$ é o erro principal, pois não bate com a distância entre as linhas pontilhadas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$y = \frac{1}{2}\cos(x) - 5$ tem amplitude $\frac{1}{2}$ e deslocamento $-5$, os mesmos valores da alternativa B. A diferença está na fase: o cosseno começa no máximo em $x = 0$, enquanto o seno começa no valor médio. Se a figura mostra a onda começando no valor médio (ou em um ponto que não é o máximo), a alternativa E está errada por usar cosseno em vez de seno. A escolha entre seno e cosseno depende da posição da onda em $x = 0$ na figura. Gabarito: letra B — a função $y = \frac{1}{2}\sin(x) - 5$ é a que melhor representa o mar, com amplitude $\frac{1}{2}$ e deslocamento vertical $-5$, conforme a figura (que deve ser conferida para validar a fase).