Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2025

Progressão Aritmética: encontrando o termo geral

Gabarito: letra E. A quantidade de selos nas caixas forma uma progressão aritmética (PA) crescente, e com os valores da 3ª caixa (140) e da 6ª caixa (230) é possível determinar a razão e, em seguida, o valor da 10ª caixa, que é 350. A resolução usa a fórmula do termo geral de uma PA: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$.

A progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante — essa diferença é chamada de razão ($r$). No problema, temos dez caixas ordenadas de forma crescente, ou seja, $a_1 < a_2 < \dots < a_{10}$, e conhecemos dois termos: $a_3 = 140$ e $a_6 = 230$. A diferença entre esses termos é $a_6 - a_3 = 230 - 140 = 90$. Como entre o 3º e o 6º termo há 3 intervalos de razão (do 3º para o 4º, do 4º para o 5º e do 5º para o 6º), temos $3r = 90$, logo $r = 30$. Com a razão, podemos calcular o 10º termo: partindo do 6º termo, há 4 intervalos até o 10º (do 6º para o 7º, 7º para o 8º, 8º para o 9º e 9º para o 10º), então $a_{10} = a_6 + 4 \cdot r = 230 + 4 \cdot 30 = 230 + 120 = 350$. O resultado é um número inteiro, e as informações são suficientes, o que elimina as alternativas A e D.

A pegadinha desta questão está em confundir a posição do termo com o número de intervalos: muitos alunos contam a diferença entre as posições de forma errada (por exemplo, subtraindo 6 − 3 = 3 e depois usando esse número como se fosse a quantidade de razões, o que está correto, mas depois erram ao avançar do 6º para o 10º, usando 10 − 6 = 4, que também está correto). O erro mais comum é tentar achar o 1º termo primeiro e se perder nos cálculos, ou simplesmente chutar um dos valores das alternativas sem fazer a conta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado não é um número inteiro, invalidando a ideia. Isso é falso: a razão encontrada é 30, um número inteiro, e todos os termos da PA são inteiros (140, 170, 200, 230, 260, 290, 320, 350). Não há nenhuma inconsistência que invalide a situação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta 380 como resposta. Esse valor seria obtido se, a partir do 6º termo, fossem considerados 5 intervalos de razão (como se o 10º termo fosse o 11º), ou se a razão fosse calculada incorretamente como 25 (pois 380 − 230 = 150, e 150/6 = 25). O cálculo correto usa 4 intervalos, resultando em 350.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta 320 como resposta. Esse valor corresponde ao 9º termo da PA, não ao 10º. Quem erra aqui provavelmente conta apenas 3 intervalos a partir do 6º termo (6º → 7º → 8º → 9º), esquecendo que o 10º termo está 4 intervalos à frente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que falta informação para chegar à resposta. Isso é falso: com dois termos de uma PA é possível determinar a razão e, consequentemente, qualquer outro termo. A PA fica completamente determinada com $a_3 = 140$ e $a_6 = 230$, pois a razão é única.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A resposta correta é 350. Como demonstrado, a razão é 30 e o 10º termo é $a_{10} = a_6 + 4 \cdot 30 = 230 + 120 = 350$. A alternativa está correta e é a única que apresenta o valor exato.

Gabarito: letra E