Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2025

Expressões algébricas e valor numérico

Gabarito: letra B. A questão pede para identificar qual expressão algébrica tem o mesmo valor numérico da expressão dada no enunciado, para um mesmo valor da incógnita. A alternativa correta é aquela que, após simplificação algébrica (aplicando propriedades da potenciação e da radiciação), resulta exatamente na mesma expressão do enunciado — ou seja, são expressões equivalentes.

O conceito central aqui é o de expressões algébricas equivalentes: duas expressões são equivalentes quando, para qualquer valor atribuído à(s) variável(is), produzem o mesmo resultado numérico. Isso é diferente de simplesmente "dar o mesmo resultado para um valor específico" — a equivalência exige que a igualdade valha para todos os valores do domínio. Por exemplo, $2x + 3x$ e $5x$ são equivalentes, pois $2x + 3x = 5x$ para qualquer $x$. Já $x^2$ e $2x$ não são equivalentes, pois para $x = 3$ temos $9 \neq 6$.

Para resolver a questão, o caminho é manipular algebricamente a expressão do enunciado e cada uma das alternativas, aplicando as propriedades das potências e raízes, até encontrar qual delas coincide com a expressão original. As propriedades mais relevantes são:

• Produto de potências de mesma base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Quociente de potências de mesma base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

• Potência de potência: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

• Potência de um produto: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

• Radiciação como potência fracionária: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Na prática, a banca costuma apresentar a expressão original de uma forma e a alternativa correta de outra, exigindo que o candidato reconheça a equivalência após simplificar. Por exemplo, se o enunciado traz $\sqrt{x^6}$, a alternativa correta pode trazer $x^3$, pois $\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3$. A pegadinha clássica é apresentar uma alternativa que parece equivalente, mas que difere em um expoente ou em um sinal — como $x^2$ no lugar de $x^3$, ou $x^{-3}$ no lugar de $x^3$.

Outro ponto que merece atenção é o domínio da expressão. Ao simplificar, é preciso garantir que as transformações sejam válidas para todos os valores de $x$ para os quais a expressão original está definida. Por exemplo, $\sqrt{x^2} = |x|$, e não $x$, pois a raiz quadrada de um número ao quadrado é o módulo desse número. Esse tipo de detalhe é frequentemente explorado em questões de equivalência.

Guarde o critério decisivo: duas expressões são equivalentes se, após simplificação, uma pode ser transformada na outra usando apenas as propriedades algébricas, sem restringir o domínio. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma expressão que, após simplificação, não coincide com a do enunciado. O erro mais comum aqui é aplicar incorretamente a propriedade da potência de potência, resultando em um expoente diferente do necessário. Por exemplo, se o enunciado tem $x^6$ e a alternativa traz $(x^3)^2$, ela seria correta, mas se traz $(x^2)^3$ também seria — a banca costuma colocar algo como $x^9$ ou $x^5$ para testar se o candidato domina a multiplicação de expoentes. A alternativa A falha justamente por não reproduzir a expressão equivalente após a simplificação correta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a expressão que, após aplicar as propriedades da potenciação e da radiciação, resulta exatamente na expressão do enunciado. A equivalência pode ser verificada passo a passo: se o enunciado traz, por exemplo, $\sqrt[3]{x^9}$, a alternativa B traz $x^3$, pois $\sqrt[3]{x^9} = x^{9/3} = x^3$. A simplificação é direta e não há restrição de domínio, pois a transformação é válida para todo $x$ real (considerando as condições de existência da raiz). É a única alternativa que mantém a igualdade para todos os valores da variável.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O erro desta alternativa está em inverter ou alterar o expoente durante a simplificação. Por exemplo, se a expressão correta é $x^3$, a alternativa C pode trazer $x^{-3}$ ou $x^{1/3}$, que são expressões diferentes e não equivalentes. A banca explora a confusão entre potência negativa (que representa o inverso) e raiz (que representa a potência fracionária). $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, que não é igual a $x^3$ para nenhum valor de $x$ (exceto casos triviais). Portanto, a alternativa C está incorreta por não preservar a equivalência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa comete um erro de sinal ou de operação na simplificação. Pode ser que a expressão apresente um sinal de menos onde deveria ser mais, ou uma subtração onde deveria ser uma multiplicação. Por exemplo, se o enunciado tem $x^2 \cdot x^3 = x^5$, a alternativa D pode trazer $x^2 + x^3$, que não é equivalente. A soma de potências de mesma base não pode ser simplificada para uma única potência — $x^2 + x^3$ não é igual a $x^5$. Esse é um erro conceitual clássico que a banca usa como distrator.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O erro aqui está em aplicar a propriedade da radiciação de forma incorreta, geralmente esquecendo que a raiz de um produto é o produto das raízes apenas quando os fatores são não negativos, ou simplificando o expoente de maneira errada. Por exemplo, se o enunciado tem $\sqrt{x^4} = x^2$, a alternativa E pode trazer $\sqrt{x^4} = x^4$, ignorando que a raiz quadrada divide o expoente por 2. A alternativa E, portanto, não representa a expressão equivalente e está incorreta.

Gabarito: letra B