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Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
vu108223
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2019
Em uma rua plana e horizontal AB, um observador no RAS C U NHO ponto A avista o topo de um prédio sob um ângulo de visão, em relação ao solo, de 45º. No ponto B, distanciado em 20 metros do ponto A, esse observador avista o topo do prédio sob um ângulo de 60º. Também no ponto B, o observador avista a base do prédio, em um nível abaixo do nível em que ele se encontra, sob um ângulo de 30º, conforme figura a seguir.Imagem associada para resolução da questãoCom essas informações, é correto afirmar que a altura desse prédio é de, aproximadamente,
  1. A69 m
  2. B61 m
  3. C65 m
  4. D67 m
  5. E63 m
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 63 m

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A altura do prédio é de aproximadamente 63 m — alternativa E..

A ideia por trás

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Ela relaciona uma distância vertical com uma distância horizontal, e é a ferramenta certa quando o problema dá ângulos de visada e distâncias no chão.

Para um ângulo θ, temos tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente. Isso significa que, se você conhece o ângulo e uma das distâncias, pode descobrir a outra. Os valores notáveis são: tan(30°) = √3/3, tan(45°) = 1 e tan(60°) = √3. Quanto maior o ângulo, maior a tangente — um ângulo de 60° corresponde a uma altura √3 vezes maior que a distância horizontal.

Esta questão usa a tangente em dois triângulos retângulos diferentes (um para cada ponto de observação) e também considera que o observador está mais alto que a base do prédio, então a altura total é a soma da altura do topo com a profundidade da base.

O que a questão dá

  • distância AB = 20 m

  • ângulo de visão do topo em A = 45°

  • ângulo de visão do topo em B = 60°

  • ângulo de visão da base em B = 30° (para baixo)

O que queremos: a altura do prédio

Passo 1 — Definir as distâncias desconhecidas

Antes de montar as equações, precisamos nomear o que não sabemos: a distância horizontal do ponto B até o prédio (x) e as alturas em relação ao nível do observador (h_t para o topo e h_b para a base). Isso organiza o problema e evita confusão.

NÃO CAIA NESSA!

Não definir as variáveis e tentar resolver de cabeça — isso leva a equações erradas.

Passo 2 — Montar a equação para o topo em B

No ponto B, o observador vê o topo sob 60°. A tangente desse ângulo relaciona a altura do topo (h_t) com a distância horizontal x. Essa é a primeira relação entre as incógnitas.

Por que esta fórmula: A tangente de um ângulo é o cateto oposto dividido pelo adjacente. Aqui, o cateto oposto é h_t e o adjacente é x.

tan⁡(60°)=htx\tan(60°) = \frac{h_t}{x}

De onde vem cada valor: tan⁡(60°)\tan(60°) = constante: √3 · hth_t = definido no passo 1 · xx = definido no passo 1

3=htx\sqrt{3} = \frac{h_t}{x}
ht=x3h_t = \boxed{x\sqrt{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir cateto oposto com adjacente — aqui o oposto é a altura, não a distância.

Passo 3 — Montar a equação para a base em B

No mesmo ponto B, o observador vê a base sob 30° para baixo. Isso dá a profundidade h_b em função de x. Precisamos dela para depois somar à altura do topo.

Por que esta fórmula: Novamente a tangente: o cateto oposto é h_b (a profundidade) e o adjacente é x.

tan⁡(30°)=hbx\tan(30°) = \frac{h_b}{x}

De onde vem cada valor: tan⁡(30°)\tan(30°) = constante: √3/3 · hbh_b = definido no passo 1 · xx = definido no passo 1

33=hbx\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h_b}{x}
hb=x33h_b = \boxed{\frac{x\sqrt{3}}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o ângulo de 30° como se fosse para cima — mas ele é para baixo, então a altura é uma profundidade.

Passo 4 — Montar a equação para o topo em A

No ponto A, a distância horizontal até o prédio é x + 20, e o ângulo é 45°. Isso dá uma segunda expressão para h_t, que vamos igualar à do passo 2 para achar x.

Por que esta fórmula: A tangente de 45° é 1, então h_t é igual à distância horizontal.

tan⁡(45°)=htx+20\tan(45°) = \frac{h_t}{x + 20}

De onde vem cada valor: tan⁡(45°)\tan(45°) = constante: 1 · hth_t = definido no passo 1 · x+20x + 20 = x (passo 1) + 20 m (enunciado: distância AB)

1=htx+201 = \frac{h_t}{x + 20}
ht=x+20h_t = \boxed{\text{x} + 20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 20 m — a distância de A é maior que a de B.

Passo 5 — Igualar as duas expressões de h_t

Temos duas fórmulas para a mesma altura h_t: uma do passo 2 e outra do passo 4. Igualá-las cria uma equação só com x, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Se duas expressões representam a mesma quantidade, elas são iguais.

x3=x+20x\sqrt{3} = x + 20

De onde vem cada valor: x3x\sqrt{3} = passo 2 · x+20x + 20 = passo 4

x3=x+20x\sqrt{3} = x + 20
x=203−1x = \boxed{\frac{20}{\sqrt{3} - 1}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a álgebra ao isolar x — subtraia x dos dois lados antes de dividir.

Passo 6 — Racionalizar o valor de x

O denominador √3 - 1 é inconveniente para calcular. Multiplicar pelo conjugado √3 + 1 elimina a raiz do denominador e simplifica a expressão.

Por que esta fórmula: (a - b)(a + b) = a² - b², então (√3 - 1)(√3 + 1) = 3 - 1 = 2.

x=20(3+1)(3−1)(3+1)x = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}

De onde vem cada valor: 2020 = passo 5 · 3+1\sqrt{3} + 1 = definição: conjugado de √3 - 1

x=20(3+1)3−1x = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}
x=10(3+1)x = \boxed{10(\sqrt{3} + 1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o numerador também — o valor fica errado.

Passo 7 — Calcular a altura do prédio

A altura do prédio é a soma da altura do topo com a profundidade da base, porque o observador está mais alto que a base. Usamos as expressões dos passos 2 e 3.

Por que esta fórmula: H = h_t + h_b, e substituímos h_t = x√3 e h_b = x√3/3.

H=x3+x33H = x\sqrt{3} + \frac{x\sqrt{3}}{3}

De onde vem cada valor: x3x\sqrt{3} = passo 2 · x33\frac{x\sqrt{3}}{3} = passo 3

H=4x33H = \frac{4x\sqrt{3}}{3}
H=4⋅10(3+1)⋅33H = \boxed{\frac{4 \cdot 10(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{3}}{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair em vez de somar — o observador está acima da base, então a altura é maior que a altura do topo.

Passo 8 — Substituir x e aproximar √3

Agora temos a expressão final com x. Substituímos o valor de x do passo 6 e usamos √3 ≈ 1,73 para obter o número.

Por que esta fórmula: A expressão H = 40(3+√3)/3 vem da simplificação algébrica.

H=40(3+3)3H = \frac{40(3+\sqrt{3})}{3}

De onde vem cada valor: 4040 = passo 7: 410 · 3+33+\sqrt{3} = passo 6: (√3+1)√3 = 3+√3 · 33 = passo 7: denominador

H≈40(3+1,73)3=H≈63,07mH \approx \frac{40(3+1{,}73)}{3} = \boxed{\text{H} ≈ 63,07 \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar √3 ≈ 1,7 em vez de 1,73 — a diferença é pequena, mas pode mudar a alternativa.

Resposta: A altura do prédio é de aproximadamente 63 m — alternativa E.

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