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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu108228
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2019
Um triângulo, plotado em um plano cartesiano, tem dois vértices pertencentes ao eixo x com abscissas que são, respectivamente, as raízes das funções f(x) = 3x + 15 e g(x) = 1 – Imagem associada para resolução da questão O terceiro vértice é o ponto de intersecção dos gráficos dessas funções.A área desse triângulo, em unidades quadradas, é igual a
  1. A21,0
  2. B9,0
  3. C10,5
  4. D63,0
  5. E31,5
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 10,5

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Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 10,5 unidades quadradas — alternativa C.

A ideia por trás

A raiz de uma função é o valor de x que zera a função, ou seja, onde o gráfico corta o eixo x. No plano cartesiano, um triângulo tem área dada pela metade do produto da base pela altura, onde a base é a distância entre dois vértices e a altura é a distância perpendicular do terceiro vértice à reta que contém a base.

Para funções do 1º grau, a raiz é encontrada igualando a função a zero e resolvendo a equação. O ponto de interseção de duas retas é obtido igualando as duas funções e resolvendo para x, depois substituindo em uma delas para achar y. A distância entre dois pontos no eixo x é a diferença entre suas abscissas (em módulo). A área do triângulo é A = (base × altura) / 2.

Esta questão pede para combinar esses conceitos: achar as raízes das duas funções, achar a interseção, e então calcular a área do triângulo com base no eixo x e altura dada pela ordenada da interseção.

O que a questão dá

  • f(x) = 3x + 15

  • g(x) = 1 - x/2

  • dois vértices sobre o eixo x, nas raízes de f e g

  • terceiro vértice é a interseção das retas

O que queremos: a área do triângulo formado por esses três pontos

Passo 1 — Achar a raiz de f(x)

Precisamos das abscissas dos dois vértices que estão sobre o eixo x. A raiz de f é o x que faz f(x) = 0, ou seja, onde a reta corta o eixo x.

Por que esta fórmula: Igualar a função a zero é a definição de raiz.

3x+15=03x + 15 = 0

De onde vem cada valor: 3x+153x + 15 = enunciado: f(x) = 3x + 15

3x+15=03x + 15 = 0
x=−5x = \boxed{-5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o 15 para o outro lado, obtendo x = 5 em vez de -5.

Passo 2 — Achar a raiz de g(x)

O segundo vértice sobre o eixo x é a raiz de g. Precisamos dela para definir a base do triângulo.

Por que esta fórmula: Igualar a função a zero é a definição de raiz.

1−x2=01 - \frac{x}{2} = 0

De onde vem cada valor: 1−x21 - \frac{x}{2} = enunciado: g(x) = 1 - x/2

1−x2=01 - \frac{x}{2} = 0
x=2x = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 ao isolar x, obtendo x = 1.

Passo 3 — Calcular a base do triângulo

Os dois vértices sobre o eixo x são as raízes encontradas. A distância entre eles é a base do triângulo.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no eixo x é a diferença entre as abscissas, em módulo.

base=∣x2−x1∣base = |x_2 - x_1|

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: -5 · x2x_2 = passo 2: 2

base=∣2−(−5)∣=∣7∣=7=7 unidadesbase = |2 - (-5)| = |7| = 7 = \boxed{7\ \text{unidades}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada e esquecer o módulo, mas como a diferença é positiva, não muda aqui.

Passo 4 — Achar o ponto de interseção das retas

O terceiro vértice é onde as duas retas se cruzam. Para achar esse ponto, igualamos as funções e resolvemos para x.

Por que esta fórmula: No ponto de interseção, as duas funções têm o mesmo valor, então f(x) = g(x).

3x+15=1−x23x + 15 = 1 - \frac{x}{2}

De onde vem cada valor: 3x+153x + 15 = enunciado: f(x) · 1−x21 - \frac{x}{2} = enunciado: g(x)

3x+15=1−x23x + 15 = 1 - \frac{x}{2}
x=−4x = \boxed{-4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a álgebra ao multiplicar por 2, esquecendo de distribuir corretamente.

Passo 5 — Achar a ordenada do ponto de interseção

Com o x da interseção, substituímos em uma das funções para achar o y. Esse y será a altura do triângulo.

Por que esta fórmula: A altura é a distância do ponto ao eixo x, que é o valor absoluto da ordenada.

y=f(x)y = f(x)

De onde vem cada valor: xx = passo 4: -4 · ff = enunciado: f(x) = 3x + 15

y=3(−4)+15=−12+15=3=3y = 3(-4) + 15 = -12 + 15 = 3 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a outra função e errar o sinal, mas ambas dão o mesmo resultado.

Passo 6 — Calcular a área do triângulo

Temos a base e a altura, então aplicamos a fórmula da área do triângulo.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura.

A=base×altura2A = \frac{base \times altura}{2}

De onde vem cada valor: basebase = passo 3: 7 · alturaaltura = passo 5: 3

A=7×32=212=10,5A = \frac{7 \times 3}{2} = \frac{21}{2} = 10{,}5

AA = 10,5 unidades quadradas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 21.

Resposta: 10,5 unidades quadradas — alternativa C

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