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Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2025

MatemáticaProgressões
Código
vu108233
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2019
Em uma progressão geométrica de sete termos positivos, a soma dos cinco primeiros é 605 e a soma dos cinco últimos é 5445.A diferença entre o 5º e o 4º termos é igual a
  1. A275
  2. B270
  3. C280
  4. D285
  5. E290
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 270

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 270 (letra B).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante chamada razão (q). O termo geral é a_n = a_1 · q^(n-1), e a soma dos n primeiros termos é S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1) para q ≠ 1. A razão q determina o crescimento: se q > 1, os termos aumentam; se 0 < q < 1, diminuem; se q = 1, são constantes. Nesta questão, a chave é perceber que os cinco últimos termos são os cinco primeiros multiplicados por q^2, pois cada termo desloca duas posições. Assim, a soma dos cinco últimos é q^2 vezes a soma dos cinco primeiros, o que permite achar q diretamente. Depois, com a soma dos cinco primeiros, encontramos a_1 e calculamos os termos pedidos.

O que a questão dá

  • soma dos cinco primeiros termos = 605

  • soma dos cinco últimos termos = 5445

  • PG com 7 termos positivos

O que queremos: a diferença entre o 5º e o 4º termo

Passo 1 — Relacionar as duas somas

Precisamos usar as duas somas dadas para descobrir a razão da PG. Como os cinco últimos termos são os cinco primeiros multiplicados por q^2, a soma deles também fica multiplicada por q^2. Isso evita montar um sistema complicado.

Por que esta fórmula: Cada termo da PG é o anterior vezes q. Do 1º ao 3º termo, multiplicamos por q duas vezes, então a_3 = a_1·q^2. O mesmo vale para os outros: a_4 = a_2·q^2, etc. Somando tudo, a soma dos cinco últimos é q^2 vezes a soma dos cinco primeiros.

S5 uˊltimos=q2⋅S5 primeirosS_{5\ últimos} = q^{2} \cdot S_{5\ primeiros}

De onde vem cada valor: S5 uˊltimosS_{5\ últimos} = enunciado: 5445 · S5 primeirosS_{5\ primeiros} = enunciado: 605

5445=q2⋅6055445 = q^{2} \cdot 605
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os cinco últimos são do 3º ao 7º termo, e não do 2º ao 6º, o que daria q em vez de q^2.

Passo 2 — Calcular a razão q

Com a relação entre as somas, isolamos q^2 e extraímos a raiz. Como a PG tem termos positivos, q deve ser positivo.

Por que esta fórmula: Dividimos os dois lados por 605 para isolar q^2. Depois, a raiz quadrada de 9 é 3, pois 3·3 = 9. O valor negativo -3 não serve, pois alternaria os sinais dos termos.

q=S5 uˊltimosS5 primeirosq = \sqrt{\frac{S_{5\ últimos}}{S_{5\ primeiros}}}

De onde vem cada valor: S5 uˊltimosS_{5\ últimos} = passo 1: 5445 · S5 primeirosS_{5\ primeiros} = passo 1: 605

q=5445605=9q = \sqrt{\frac{5445}{605}} = \sqrt{9}
q=3q = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar q = -3, o que daria termos alternando sinais, contrariando o enunciado de termos positivos.

Passo 3 — Encontrar o primeiro termo

Com a razão conhecida, usamos a soma dos cinco primeiros para achar a_1. A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG é necessária aqui.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PG é S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1). Substituímos n=5, q=3 e S_5=605 para isolar a_1.

S5=a1(q5−1)q−1S_5 = \frac{a_1(q^{5} - 1)}{q - 1}

De onde vem cada valor: S5S_5 = enunciado: 605 · qq = passo 2: 3 · q5q^{5} = passo 2: 3^5 = 243

605=a1(35−1)3−1605 = \frac{a_1(3^{5} - 1)}{3 - 1}
a1=5a_1 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência 3^5 = 243, ou esquecer de subtrair 1 no numerador.

Passo 4 — Calcular o 4º e o 5º termo

A diferença pedida envolve o 4º e o 5º termo. Usamos a fórmula do termo geral da PG, que dá cada termo a partir do primeiro e da razão.

Por que esta fórmula: O termo geral é a_n = a_1 · q^(n-1). Para n=4, temos a_4 = a_1·q^3; para n=5, a_5 = a_1·q^4. Substituímos os valores já conhecidos.

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 3: 5 · qq = passo 2: 3 · nn = enunciado: 4 e 5

a4=5⋅33=5⋅27=135,a5=5⋅34=5⋅81=405a_4 = 5 \cdot 3^{3} = 5 \cdot 27 = 135, \quad a_5 = 5 \cdot 3^{4} = 5 \cdot 81 = 405

a_4 = 135, a_5 = 405

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os expoentes: a_4 usa q^3, não q^4; a_5 usa q^4.

Passo 5 — Subtrair o 4º do 5º termo

A pergunta é a diferença entre o 5º e o 4º termo, então subtraímos os valores obtidos.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente a_5 - a_4. Não há fórmula especial; basta subtrair os números.

a5−a4a_5 - a_4

De onde vem cada valor: a5a_5 = passo 4: 405 · a4a_4 = passo 4: 135

405−135=270405 - 135 = \boxed{270}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (a_4 - a_5), o que daria -270, mas a questão pede a diferença entre o 5º e o 4º, então é 405 - 135.

Resposta: 270 (letra B)

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