Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — VUNESP 2025

Conjuntos numéricos: racionais, irracionais e divisibilidade

Gabarito: letra E — apenas uma afirmação é verdadeira (a de número 5). A questão testa, sobretudo, a capacidade de encontrar contraexemplos para afirmações universais: a soma de irracionais pode ser racional (afirmação 1 falsa), a representação decimal de √2 não é periódica (afirmação 3 falsa) e a relação entre comprimento e diâmetro de uma circunferência envolve π (afirmação 4 falsa). A afirmação 2 é falsa porque 33 e 13 são primos entre si, mas 33 × 13 = 429 é múltiplo de 33 e divisível por 13. A única verdadeira é a 5, pois para 0 < x < 1, x² < x.

Vamos analisar cada afirmação com cuidado, pois a banca explora exatamente os erros conceituais mais comuns sobre números racionais e irracionais.

Afirmação 1 — ❌ Falsa

A afirmação diz que a soma de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. Isso é falso. Basta um contraexemplo: √2 e −√2 são ambos irracionais, mas √2 + (−√2) = 0, que é um número racional. Outro exemplo: √2 + (1 − √2) = 1, também racional. A soma de irracionais pode ser racional ou irracional, dependendo dos números escolhidos. A palavra "sempre" é o gatilho da pegadinha: afirmações universais sobre conjuntos numéricos costumam ser falsas, e um único contraexemplo as derruba.

Afirmação 2 — ❌ Falsa

A afirmação diz que se um inteiro positivo é múltiplo de 33, então ele não pode ser divisível por 13. Isso é falso. O número 429 = 33 × 13 é múltiplo de 33 e, ao mesmo tempo, divisível por 13. Como 33 e 13 são primos entre si (não têm fatores comuns), o mínimo múltiplo comum entre eles é exatamente o produto 33 × 13 = 429. Portanto, existem infinitos números que são múltiplos de 33 e divisíveis por 13 (todos os múltiplos de 429). A afirmação tenta impor uma incompatibilidade que não existe.

Afirmação 3 — ❌ Falsa

A afirmação diz que a representação decimal de √2 é uma dízima periódica. Isso é falso. √2 é um número irracional, e a característica fundamental de um número irracional é que sua representação decimal é infinita e não periódica. Uma dízima periódica (como 0,333... ou 1,272727...) representa sempre um número racional. Como √2 não pode ser escrito como fração de dois inteiros, sua expansão decimal nunca se repete em um padrão fixo. A confusão clássica é achar que "decimal infinito" é sinônimo de "dízima periódica", mas há infinitos decimais que não são periódicos — e é exatamente isso que caracteriza os irracionais.

Afirmação 4 — ❌ Falsa

A afirmação diz que se o comprimento de uma circunferência é racional, seu diâmetro também será racional. Isso é falso. O comprimento C de uma circunferência de diâmetro d é dado por C = πd. Se C é racional, então d = C/π. Como π é irracional, a divisão de um racional (C) por um irracional (π) resulta, em geral, em um número irracional. Por exemplo, se C = 1 (racional), então d = 1/π, que é irracional. A pegadinha está em esquecer que a constante π é irracional e que, portanto, a relação entre comprimento e diâmetro não preserva a racionalidade.

Afirmação 5 — ✅ Verdadeira

A afirmação diz que, sendo x um número racional positivo, x² pode ser um número racional positivo menor do que x. Isso é verdadeiro. Basta tomar x = 1/2. Temos x² = 1/4, que é racional positivo e menor que 1/2. Em geral, para qualquer número racional x tal que 0 < x < 1, temos que x² < x (porque multiplicar um número entre 0 e 1 por ele mesmo o torna menor). Por exemplo, x = 2/3 → x² = 4/9 < 2/3. A palavra "pode" é crucial: a afirmação não diz que sempre acontece, apenas que é possível, e o exemplo de x = 1/2 confirma.

Conclusão: apenas a afirmação 5 é verdadeira. Portanto, a resposta correta é a letra E (Apenas uma delas).

Gabarito: letra E