Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3032 (alternativa C).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (a razão) ao termo anterior. Ela modela situações de crescimento linear, como parcelas de um financiamento ou a distância percorrida a cada segundo por um objeto em movimento uniforme. O termo geral a_n = a_1 + (n-1)r permite encontrar qualquer termo conhecendo o primeiro e a razão; a soma dos n primeiros termos S_n = (a_1 + a_n)·n/2 é a média entre o primeiro e o último multiplicada pela quantidade de termos. Nesta questão, temos dois termos (4º e 9º) e precisamos descobrir a razão e o primeiro termo para então calcular a soma até o termo 2025, que é o que a pergunta pede.

O que a questão dá

• 4º termo = 5

• 9º termo = 20

O que queremos: o fator que multiplica 2025 na soma dos 2025 primeiros termos da PA

Passo 1 — Montar as equações dos termos dados

Para descobrir a razão e o primeiro termo, precisamos usar a fórmula do termo geral para os dois termos que conhecemos. Isso gera um sistema de duas equações com duas incógnitas (a_1 e r), que é o caminho padrão para resolver problemas de PA quando não temos o primeiro termo nem a razão diretamente.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral a_n = a_1 + (n-1)r é a relação que liga qualquer termo com o primeiro e a razão. Como temos dois termos, aplicamos essa fórmula para n=4 e n=9, obtendo duas equações.

De onde vem cada valor: $a_n$ = enunciado: 4º termo = 5 e 9º termo = 20 · $a_1$ = incógnita · $n$ = enunciado: 4 e 9 · $r$ = incógnita

Passo 2 — Subtrair as equações para achar a razão

Com duas equações, subtrair uma da outra elimina a incógnita a_1, sobrando apenas r. Isso é mais rápido do que resolver por substituição e evita erros de sinal.

Por que esta fórmula: A subtração é uma manipulação algébrica: (a_1 + 8r) - (a_1 + 3r) = 20 - 5, que simplifica para 5r = 15.

De onde vem cada valor: $a_1 + 8r$ = passo 1: equação do 9º termo · $a_1 + 3r$ = passo 1: equação do 4º termo · $20$ = passo 1: 9º termo · $5$ = passo 1: 4º termo

Passo 3 — Substituir a razão para achar o primeiro termo

Com a razão conhecida, usamos uma das equações originais para encontrar a_1. Isso fecha o sistema e nos dá todos os dados da PA.

Por que esta fórmula: Substituímos r = 3 na equação do 4º termo: a_1 + 3·3 = 5, que é uma equação simples de primeiro grau.

De onde vem cada valor: $a_1$ = incógnita · $3$ = passo 2: r = 3 · $r$ = passo 2: r = 3 · $5$ = passo 1: 4º termo

Passo 4 — Calcular o termo de ordem 2025

A fórmula da soma dos n primeiros termos usa o primeiro e o último termo. Como queremos a soma até o termo 2025, precisamos calcular a_2025 usando o termo geral.

Por que esta fórmula: O termo geral a_n = a_1 + (n-1)r serve para qualquer posição. Aqui n = 2025, então substituímos os valores conhecidos.

De onde vem cada valor: $a_1$ = passo 3: -4 · $2025$ = enunciado: soma dos primeiros 2025 termos · $r$ = passo 2: 3

Passo 5 — Aplicar a fórmula da soma dos termos

Com o primeiro e o último termo, a soma dos 2025 primeiros termos é calculada pela fórmula da soma. Essa fórmula é a média dos extremos multiplicada pela quantidade de termos.

Por que esta fórmula: A soma S_n = (a_1 + a_n)·n/2 é a fórmula padrão para PA. Ela vem da propriedade de que a soma dos extremos é constante.

De onde vem cada valor: $a_1$ = passo 3: -4 · $a_{2025}$ = passo 4: 6068 · $2025$ = enunciado: soma dos primeiros 2025 termos

Resposta: 3032 (alternativa C)