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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
vu108263
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2020
Em uma pesquisa sobre uso das redes sociais A, B e C, feita com 150 pessoas, foram obtidos os seguintes dados:1) 55 usam a rede social A;2) 68 usam a rede social B;3) 99 usam a rede social C;4) 25 usam as redes sociais A e B;5) 39 usam as redes sociais B e C;6) 22 usam as redes sociais A e C;7) 4 não usam quaisquer das três redes sociais;8) há pessoas que usam as três redes sociais.Sorteando-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela tenha declarado usar apenas as redes sociais A e B é de
  1. A15%.
  2. B12%.
  3. C10%.
  4. D8%.
  5. E6%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 10%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 10% (alternativa C).

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, o diagrama de Venn ajuda a visualizar quantas pessoas estão em cada região: só A, só B, só C, as interseções entre duas, e a interseção tripla. A probabilidade clássica é a razão entre o número de casos favoráveis (pessoas na região desejada) e o total de casos possíveis (150). O princípio da inclusão-exclusão relaciona o total de elementos da união com as contagens individuais e as interseções, permitindo descobrir o valor desconhecido da interseção tripla. Nesta questão, precisamos primeiro achar quantas pessoas usam as três redes para então subtrair da interseção A∩B e obter quem usa apenas A e B.

O que a questão dá

  • total de entrevistados = 150

  • usam A = 55

  • usam B = 68

  • usam C = 99

  • usam A e B = 25

  • usam B e C = 39

  • usam A e C = 22

  • não usam nenhuma = 4

  • há pessoas que usam as três

O que queremos: a probabilidade de sortear uma pessoa que use apenas as redes A e B

Passo 1 — Calcular quantos usam pelo menos uma rede

O total de 150 inclui 4 pessoas que não usam nenhuma rede. Para aplicar a fórmula de inclusão-exclusão, precisamos do número de pessoas que usam pelo menos uma das três, pois a fórmula conta exatamente essas pessoas.

Por que esta fórmula: A união dos três conjuntos (A∪B∪C) representa quem usa pelo menos uma rede. Como 4 não usam nenhuma, subtraímos do total.

n(A∪B∪C)=150−4n(A \cup B \cup C) = 150 - 4

De onde vem cada valor: 150150 = enunciado: total de entrevistados · 44 = enunciado: não usam nenhuma

n(A∪B∪C)=150−4=146 pessoasn(A \cup B \cup C) = 150 - 4 = \boxed{146\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os 4 e usar 150 na fórmula, o que daria x = 0 e erraria tudo.

Passo 2 — Montar a equação de inclusão-exclusão

Com o total da união conhecido, podemos relacionar as contagens individuais e as interseções. A interseção tripla (x) é desconhecida e é justamente o que precisamos descobrir para separar as regiões do diagrama.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos soma os individuais, subtrai as interseções duplas e soma a tripla, porque as duplas foram subtraídas a mais.

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)

De onde vem cada valor: n(A∪B∪C)n(A \cup B \cup C) = passo 1: 146 · n(A)n(A) = enunciado: 55 · n(B)n(B) = enunciado: 68 · n(C)n(C) = enunciado: 99 · n(A∩B)n(A \cap B) = enunciado: 25 · n(A∩C)n(A \cap C) = enunciado: 22 · n(B∩C)n(B \cap C) = enunciado: 39 · n(A∩B∩C)n(A \cap B \cap C) = incógnita x

146=55+68+99−25−22−39+x146 = 55 + 68 + 99 - 25 - 22 - 39 + x
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla no final, obtendo x = -10, o que é impossível.

Passo 3 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior tem uma incógnita. Isolá-la nos dá o número de pessoas que usam as três redes, necessário para calcular as regiões 'apenas'.

Por que esta fórmula: É uma equação linear simples: somamos os números e isolamos x.

x=146−(55+68+99−25−22−39)x = 146 - (55 + 68 + 99 - 25 - 22 - 39)

De onde vem cada valor: 146146 = passo 1 · 55,68,99,25,22,3955, 68, 99, 25, 22, 39 = enunciado

x=146−(55+68+99−25−22−39)=146−136=10 pessoasx = 146 - (55 + 68 + 99 - 25 - 22 - 39) = 146 - 136 = \boxed{10\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos números dentro do parêntese, por exemplo somar 25+22+39 em vez de subtrair.

Passo 4 — Calcular quantos usam apenas A e B

A interseção A∩B (25 pessoas) inclui tanto quem usa só A e B quanto quem também usa C. Para obter apenas A e B, subtraímos a interseção tripla.

Por que esta fórmula: A região 'apenas A e B' é a parte de A∩B que não pertence a C, ou seja, A∩B menos a interseção tripla.

apenas A e B=n(A∩B)−n(A∩B∩C)\text{apenas A e B} = n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C)

De onde vem cada valor: n(A∩B)n(A \cap B) = enunciado: 25 · n(A∩B∩C)n(A \cap B \cap C) = passo 3: 10

apenas A e B=25−10=15 pessoas\text{apenas A e B} = 25 - 10 = \boxed{15\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 25 diretamente como apenas A e B, esquecendo de subtrair os 10 que também usam C.

Passo 5 — Calcular a probabilidade

A probabilidade clássica é a razão entre os casos favoráveis (15 pessoas) e o total de casos possíveis (150).

Por que esta fórmula: Probabilidade = favoráveis / total, pois cada pessoa tem a mesma chance de ser sorteada.

P=15150P = \frac{15}{150}

De onde vem cada valor: 1515 = passo 4 · 150150 = enunciado: total de entrevistados

P=15150P = \frac{15}{150}
0,10=10 %0{,}10 = \boxed{10\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 15 por 146 (os que usam pelo menos uma) em vez de 150, dando aproximadamente 10,27% e confundindo com a alternativa.

Resposta: 10% (alternativa C)

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