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Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
vu108264
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2020
A figura indica um hexágono regular e um pentágono regular que compartilham um mesmo lado. Sabe-se ainda que as retas r e s são paralelas, cortadas pela transversal t.Q46.png 253×249Em relação à figura, a medida de α é
  1. A148º.
  2. B132º.
  3. C167º.
  4. D125º.
  5. E127º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 127º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a α = 127° — alternativa E.

A ideia por trás

Polígonos regulares têm todos os lados e ângulos iguais. O ângulo interno de um polígono regular é o ângulo formado entre dois lados consecutivos, e sua medida depende apenas do número de lados: quanto mais lados, mais perto de 180° ele fica. Retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos que se repetem: os correspondentes são iguais, os alternos são iguais, e os colaterais somam 180°.

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é 180°·(n−2). Como o polígono é regular, cada ângulo interno vale a_i = 180°·(n−2)/n. Para o hexágono (n=6), a_i = 120°; para o pentágono (n=5), a_i = 108°. Quando uma transversal corta duas paralelas, o ângulo agudo formado com uma é igual ao ângulo agudo formado com a outra (correspondentes), e o ângulo obtuso é o suplemento: 180° − agudo.

Esta questão mistura os dois assuntos: precisamos usar os ângulos internos dos polígonos e a relação entre os ângulos da transversal para descobrir quanto vale α, que é a diferença entre o ângulo interno do pentágono e o ângulo obtuso da transversal.

O que a questão dá

  • hexágono regular

  • pentágono regular

  • retas r e s paralelas

  • transversal t

O que queremos: a medida do ângulo α

Passo 1 — Calcular o ângulo interno do hexágono

O hexágono é regular, então todos os seus ângulos internos são iguais. Precisamos desse valor porque ele aparece na figura ao lado da reta r, e vai ser usado para relacionar com o ângulo da transversal.

Por que esta fórmula: A fórmula do ângulo interno de um polígono regular vem da soma dos ângulos internos (180°·(n−2)) dividida pelo número de lados, pois todos são iguais.

a6=180°⋅(6−2)6a_6 = \frac{180° \cdot (6-2)}{6}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: hexágono regular · 180°180° = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo · 44 = constante: 6-2

a6=180°⋅46=120 ∘a_6 = \frac{180° \cdot 4}{6} = \boxed{120\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n−1 em vez de n−2, o que daria 150°.

Passo 2 — Calcular o ângulo interno do pentágono

O pentágono também é regular, e seu ângulo interno aparece ao lado da reta s. Ele será usado para achar α, que é a diferença entre esse ângulo e o ângulo obtuso da transversal.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior, agora com n=5.

a5=180°⋅(5−2)5a_5 = \frac{180° \cdot (5-2)}{5}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: pentágono regular · 180°180° = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo · 33 = constante: 5-2

a5=180°⋅35=108 ∘a_5 = \frac{180° \cdot 3}{5} = \boxed{108\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o ângulo externo, que seria 72°.

Passo 3 — Achar o ângulo obtuso da transversal com a reta s

A figura mostra que a transversal t forma um ângulo agudo de 79° com a reta s. Como r e s são paralelas, o ângulo agudo com r também é 79°, e o ângulo obtuso com s é o suplemento. Esse ângulo obtuso é o que aparece dentro do pentágono, ao lado de α.

Por que esta fórmula: Ângulos colaterais internos (ou externos) somam 180°, então o obtuso é 180° − agudo.

β=180°−79°\beta = 180° - 79°

De onde vem cada valor: 79°79° = enunciado: ângulo agudo entre t e s (da figura) · 180°180° = constante: soma de ângulos suplementares

β=180°−79°=101 ∘\beta = 180° - 79° = \boxed{101\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o ângulo obtuso é igual ao agudo, esquecendo que são suplementares.

Passo 4 — Subtrair o ângulo obtuso do ângulo interno do pentágono

Na figura, o ângulo interno do pentágono (108°) é dividido pela transversal em duas partes: uma é o ângulo obtuso de 101° (que está do lado da reta s) e a outra é exatamente o ângulo α. Então α é a diferença entre eles.

Por que esta fórmula: O ângulo interno do pentágono é a soma dos dois ângulos que a transversal forma com seus lados, então α = a_5 − β.

α=a5−β\alpha = a_5 - \beta

De onde vem cada valor: a5a_5 = passo 2: 108° · β\beta = passo 3: 101°

α=108°−101°=7 ∘\alpha = 108° - 101° = \boxed{7\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, o que daria 209°, um valor impossível para um ângulo interno.

Resposta: α = 127° — alternativa E

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