Método Jacobs e Geometria Plana
Gabarito: letra E — a estimativa pelo método Jacobs resulta em um número entre 6800 e 7000 pessoas. O método consiste em dividir a área da manifestação em triângulos retângulos, calcular a área de cada um e multiplicar pela densidade indicada, somando os resultados ao final. A resolução exige aplicar a fórmula da área do triângulo retângulo (base × altura ÷ 2) e, em um dos triângulos, usar a relação métrica da diagonal de um quadrado (lado × √2) para encontrar uma medida faltante.
O método Jacobs é uma técnica prática para estimar o número de pessoas em aglomerações, como manifestações de rua. A ideia central é simples: em vez de contar pessoa por pessoa, divide-se a área ocupada em regiões menores (no caso, triângulos retângulos), estima-se a densidade de pessoas por metro quadrado em cada região e multiplica-se a área de cada região pela sua densidade. O total de pessoas é a soma desses produtos.
Para aplicar o método, precisamos calcular a área de cada triângulo retângulo. A área de um triângulo retângulo é dada por:
onde base e altura são os catetos do triângulo. No trapézio PQRS, a diagonal divide a figura em dois triângulos, e cada um deles é subdividido em dois triângulos retângulos menores, totalizando quatro triângulos retângulos. Cada triângulo tem uma letra que indica a densidade de pessoas por metro quadrado (por exemplo, A, B, C, D), conforme a tabela do método Jacobs.
A dificuldade da questão está em identificar as medidas de cada triângulo. Em um dos triângulos, uma das medidas pode não ser dada diretamente, mas pode ser encontrada usando a relação da diagonal de um quadrado: se um triângulo retângulo é isósceles (catetos iguais), a hipotenusa é o cateto multiplicado por √2. O enunciado fornece √2 = 1,4, o que é uma dica clara de que essa relação será necessária.
Vamos supor, por exemplo, que um dos triângulos tenha catetos de 10 m e 10 m. A área seria:
Se a densidade nesse triângulo for, digamos, 4 pessoas/m², o número de pessoas seria 50 × 4 = 200. Esse raciocínio se repete para cada triângulo, e a soma final é o total estimado.
A pegadinha da banca está em dois pontos: primeiro, o aluno pode esquecer de dividir por 2 na fórmula da área do triângulo, tratando-o como um retângulo; segundo, pode não perceber que um dos triângulos é isósceles e que a medida que falta deve ser encontrada usando √2. A banca também pode trocar a densidade de um triângulo por outro, então é fundamental ler com atenção qual letra corresponde a qual densidade.
Guarde o passo a passo: (1) identifique as medidas de cada triângulo retângulo; (2) calcule a área de cada um; (3) multiplique pela densidade correspondente; (4) some tudo. É exatamente nessa sequência que as alternativas se separam — qualquer erro em uma das etapas leva a um resultado em outro intervalo.
Alternativa A — ❌ Incorreta
O intervalo de 7200 a 7400 é um distrator. Esse valor provavelmente resulta de um erro de cálculo, como esquecer de dividir a área de um dos triângulos por 2, o que superestimaria o número de pessoas. Se o aluno tratar um triângulo retângulo como um retângulo completo, a área dobra e o total final fica maior, caindo nesse intervalo.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O intervalo de 6100 a 6300 é outro distrator. Esse valor pode surgir se o aluno errar a densidade de um dos triângulos, usando um valor menor do que o indicado, ou se errar uma das medidas, subestimando a área. Também pode ocorrer se o aluno esquecer de somar um dos triângulos, deixando o total mais baixo.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O intervalo de 7500 a 7700 é um distrator. Esse valor provavelmente resulta de um erro na aplicação da relação √2, como usar √2 = 1,4 de forma incorreta ou aplicar a relação em um triângulo que não é isósceles. Se o aluno usar √2 = 2, por exemplo, a medida encontrada seria maior, inflando a área e o total.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O intervalo de 8000 a 8200 é um distrator. Esse valor é ainda mais alto e sugere um erro acumulado, como errar a área de mais de um triângulo ou usar densidades maiores do que as indicadas. Também pode ocorrer se o aluno somar as áreas sem multiplicar pelas densidades, ou se multiplicar pela densidade errada.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O intervalo de 6800 a 7000 é o resultado correto. Aplicando corretamente a fórmula da área do triângulo retângulo, usando √2 = 1,4 quando necessário e multiplicando cada área pela densidade indicada, a soma total cai nesse intervalo. A alternativa está correta porque reflete o cálculo preciso de todas as etapas do método Jacobs.
Gabarito: letra E
A figura a seguir indica uma praça em forma de trapézio PQRS, que foi dividida em quatro triângulos retângulos. As letras em cada triângulo retângulo indicam a estimativa de densidade de pessoas em uma manifestação, de acordo com o método Jacobs, em cada triângulo.
Adotando √2 = 1,4, a estimativa pelo método Jacobs do número de pessoas que estavam presentes na manifestação feita nessa praça é um número no intervalo de