Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2025
MatemáticaÁlgebra
- Código
- vu108269
- Banca
- VUNESP
- Órgão
- SEDUC-SP
- Ano
- 2025
- Nível
- Superior
- Cargo
- Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2020
No livro A arte de resolver problemas (2006), Polya aborda demonstrações utilizando o seguinte problema:Escrever um conjunto de números naturais usando cada um dos dez algarismos uma só vez, de tal forma que a soma desses números seja exatamente 100. (Adaptado)Na abordagem, Polya apresenta dois conjuntos de números que, por razões diferentes, não satisfazem as condições do problema. São eles:1) 19 + 28 + 30 + 7 + 6 + 5 + 4 = 99 (todos os algarismos são usados uma única vez, mas a soma dos números não é 100);2) 19 + 28 + 31 + 7 + 6 + 5 + 4 = 100 (a soma dos números é 100, mas o algarismo 1 é usado mais de uma vez).Na sequência da abordagem, Polya leva o leitor a suspeitar de que o problema proposto não tem solução e propõe uma demonstração para provar essa suspeita. Para a demonstração, ele afirma que a soma dos dez algarismos que devem ser usados apenas uma vez para a formação do conjunto de números que serão adicionados é 45 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45). Ele afirma, ainda, que alguns desses algarismos devem denotar unidades e outros, dezenas dos números do conjunto a ser formado. Em seguida, ele declara: (...) seja t a soma dos algarismos da dezena de cada um dos números cuja soma deve resultar 100. Então, a soma de todos os números do conjunto deve ser 10t + (45 – t) = 100, ou seja, t é igual a 55/9. (Adaptado)Em decorrência da declaração, na análise anterior, Polya conclui, portanto, que o problema proposto não tem solução.O método utilizado por Polya para chegar à conclusão foi o de demonstração
- Apor absurdo, já que 55/9 ∉ IN.
- Banalítica, já que
- Cgeométrica, já que 10t + (45 – t) = 100 é a equação de uma reta.
- Ddireta, já que 55/9 ∈ Q.
- Epor indução, já que 55/9 é uma dízima periódica.