Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A probabilidade é 2/15, correspondente à alternativa E..

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer: é a razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis. Aqui, o total é 2025 números, e os favoráveis são aqueles que atendem à condição de ser múltiplo de 5, mas não de 3. Para contar esses casos, usamos a ideia de múltiplos: um número é múltiplo de 5 se pode ser escrito como 5 vezes um inteiro. Quando queremos excluir os divisíveis por 3, precisamos subtrair os múltiplos comuns de 5 e 3, que são os múltiplos de 15 (o mínimo múltiplo comum). A probabilidade final é a fração simplificada entre favoráveis e totais. Nesta questão, o passo crucial é contar corretamente os múltiplos de 5 e subtrair os múltiplos de 15, para não errar na contagem.

O que a questão dá

• números de 1 a 2025

• condição: múltiplo de 5, mas não divisível por 3

O que queremos: a probabilidade de sortear um número que seja múltiplo de 5 e não divisível por 3

Passo 1 — Contar os múltiplos de 5 no intervalo

Precisamos saber quantos números de 1 a 2025 são múltiplos de 5, pois eles formam o conjunto base do evento. Para contar múltiplos de um número em um intervalo, dividimos o maior múltiplo pelo número, pois a sequência de múltiplos é regular.

Por que esta fórmula: A quantidade de múltiplos de 5 entre 1 e 2025 é dada por 2025 ÷ 5, porque 2025 é o maior múltiplo de 5 no intervalo e cada múltiplo é 5 vezes um inteiro.

De onde vem cada valor: $2025$ = enunciado: maior número do intervalo · $5$ = enunciado: múltiplo de 5

Passo 2 — Contar os múltiplos de 15 no intervalo

Dos múltiplos de 5, precisamos excluir aqueles que também são divisíveis por 3. Um número é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo se for múltiplo de 15 (o mínimo múltiplo comum). Então contamos quantos múltiplos de 15 existem no intervalo.

Por que esta fórmula: A quantidade de múltiplos de 15 entre 1 e 2025 é 2025 ÷ 15, pois 2025 é o maior múltiplo de 15 no intervalo.

De onde vem cada valor: $2025$ = enunciado: maior número do intervalo · $15$ = mínimo múltiplo comum entre 5 e 3

Passo 3 — Subtrair os múltiplos de 15 dos múltiplos de 5

O evento pedido é 'múltiplo de 5, mas não divisível por 3'. Os múltiplos de 15 são exatamente os múltiplos de 5 que também são divisíveis por 3, então precisamos removê-los da contagem.

Por que esta fórmula: A quantidade de casos favoráveis é a diferença entre o total de múltiplos de 5 e os múltiplos de 15, pois estes últimos são os que devem ser excluídos.

De onde vem cada valor: $N_5$ = passo 1: 405 · $N_{15}$ = passo 2: 135

$N_{fav}$ = 270 casos favoráveis

Passo 4 — Calcular a probabilidade como fração

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Aqui, o total é 2025 (todos os números de 1 a 2025). Montamos a fração e depois simplificamos.

Por que esta fórmula: A definição de probabilidade clássica: P = (casos favoráveis) / (casos possíveis).

De onde vem cada valor: $N_{fav}$ = passo 3: 270 · $N_{total}$ = enunciado: 2025

Passo 5 — Simplificar a fração até a forma irredutível

As alternativas estão em frações simplificadas, então precisamos reduzir 270/2025 ao máximo. Dividimos numerador e denominador pelo maior divisor comum, que é 135.

Por que esta fórmula: Para simplificar, dividimos ambos os termos pelo MDC (máximo divisor comum) entre 270 e 2025. Calculando, o MDC é 135.

De onde vem cada valor: $270$ = passo 3 · $2025$ = enunciado · $135$ = MDC entre 270 e 2025

Resposta: A probabilidade é 2/15, correspondente à alternativa E.