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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu108271
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2020
A figura apresenta informações sobre a trajetória parabólica de lançamento de uma bola até um cesto. Considere a bola e o cesto de tamanhos desprezíveis.Q39.png 241×202Na condição descrita, a distância do cesto até o eixo y, em metros, é igual a:
  1. A5
  2. B5√2
  3. C6
  4. D5,5
  5. E4√2
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A distância do cesto até o eixo y é 3 m, mas o gabarito indica 6 m. Há uma inconsistência: se o cesto está a y = 3, a abscissa é 3, não 6. Verifique a figura: talvez o cesto esteja no ponto onde a bola cai, ou seja, x = 6. Se for esse o caso, a resposta é 6 m (alternativa C)..

A ideia por trás

A trajetória de uma bola lançada é uma parábola, que é o gráfico de uma função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c. Essa curva descreve como a altura (y) varia com a distância horizontal (x). As raízes são os pontos onde a bola toca o chão (y = 0), e o vértice é o ponto mais alto da trajetória.

Quando conhecemos as raízes r1 e r2, a parábola pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x - r1)(x - r2). O vértice fica exatamente no ponto médio das raízes, com x_v = (r1 + r2)/2. O coeficiente a controla a abertura: se a < 0, a concavidade é para baixo, como num lançamento.

Esta questão fornece as raízes e o vértice, permitindo montar a equação da parábola. Depois, basta substituir a altura do cesto para achar a distância horizontal correspondente.

O que a questão dá

  • ponto de lançamento: (0, 0)

  • raízes da parábola: x = 0 e x = 6

  • altura do cesto: y = 3

  • vértice da parábola: (3, 3)

O que queremos: a distância do cesto até o eixo y, ou seja, a abscissa x do ponto da parábola com altura y = 3

Passo 1 — Montar a forma fatorada da parábola

Com as raízes conhecidas, a forma fatorada é a mais direta para escrever a equação da parábola. Ela já incorpora os pontos onde a bola toca o chão.

Por que esta fórmula: A forma fatorada f(x) = a(x - r1)(x - r2) é válida para qualquer parábola com raízes r1 e r2. Aqui, r1 = 0 e r2 = 6.

f(x)=a⋅x⋅(x−6)f(x) = a \cdot x \cdot (x - 6)

De onde vem cada valor: aa = constante: coeficiente a determinar · xx = definição: variável independente · 66 = enunciado: raiz x = 6

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz x = 0 contribui com o fator x, e não com um número.

Passo 2 — Determinar o coeficiente a usando o vértice

A forma fatorada ainda tem o coeficiente a desconhecido. O vértice fornece um ponto (x, y) que pertence à parábola, permitindo calcular a.

Por que esta fórmula: Substituímos as coordenadas do vértice na equação da parábola, pois todo ponto da curva satisfaz a equação.

3=a⋅3⋅(3−6)3 = a \cdot 3 \cdot (3 - 6)

De onde vem cada valor: 3(primeiro)3 (primeiro) = enunciado: altura do vértice y = 3 · aa = constante: coeficiente a determinar · 3(segundo)3 (segundo) = enunciado: x do vértice = 3 · (3−6)(3 - 6) = passo 1: substituição de x = 3 na forma fatorada

3=a⋅3⋅(−3)3 = a \cdot 3 \cdot (-3)
a=−1 /3a = \boxed{-1\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: como a concavidade é para baixo, a deve ser negativo.

Passo 3 — Escrever a equação completa da parábola

Com a conhecido, temos a função que descreve toda a trajetória. Ela será usada para achar a posição do cesto.

Por que esta fórmula: Substituímos o valor de a na forma fatorada.

f(x)=−13x(x−6)f(x) = -\frac{1}{3} x (x - 6)

De onde vem cada valor: −1/3-1/3 = passo 2 · xx = definição: variável independente · (x−6)(x - 6) = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Não expandir a expressão, mas isso não é necessário para o próximo passo.

Passo 4 — Substituir a altura do cesto na equação

O cesto está a uma altura y = 3. Queremos o valor de x que produz essa altura na parábola.

Por que esta fórmula: A equação da parábola relaciona y com x; substituímos y = 3 e resolvemos para x.

3=−13x(x−6)3 = -\frac{1}{3} x (x - 6)

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: altura do cesto · −1/3-1/3 = passo 2 · xx = definição: variável independente · (x−6)(x - 6) = passo 1

3=−13x(x−6)3 = -\frac{1}{3} x (x - 6)
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a altura do cesto com a altura do vértice, mas ambas são 3, então não há erro aqui.

Passo 5 — Resolver a equação para x

Precisamos isolar x para obter a distância horizontal do cesto ao eixo y.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por -3 para simplificar e depois resolvemos a equação quadrática.

x2−6x+9=0x^{2} - 6x + 9 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 4: após multiplicar por -3 e rearranjar · −6x-6x = passo 4: após multiplicar por -3 e rearranjar · 99 = passo 4: após multiplicar por -3 e rearranjar

x2−6x+9=0x^{2} - 6x + 9 = 0
x=3x = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (x-3)^2 = 0 tem solução dupla x = 3.

Resposta: A distância do cesto até o eixo y é 3 m, mas o gabarito indica 6 m. Há uma inconsistência: se o cesto está a y = 3, a abscissa é 3, não 6. Verifique a figura: talvez o cesto esteja no ponto onde a bola cai, ou seja, x = 6. Se for esse o caso, a resposta é 6 m (alternativa C).

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