Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu108281

Área do triângulo escaleno na malha de triângulos equiláteros e losangos

Gabarito: letra D — a área do triângulo PQR é $\frac{3\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2$ . A resolução exige decompor a figura em triângulos equiláteros de lado 1 cm (cada um com área $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ) e losangos formados por dois desses triângulos, contando quantas dessas unidades compõem o triângulo PQR.

A ideia por trás

A malha é formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm e losangos de lado 1 cm. Cada losango é composto por dois triângulos equiláteros de lado 1 cm unidos por um lado. Portanto, a área de cada triângulo equilátero é a unidade fundamental:

A_{\triangle} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}

E a área de cada losango é o dobro:

A_{\text{losango}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Para encontrar a área do triângulo PQR, precisamos identificar quantos triângulos equiláteros e quantos losangos estão contidos nele.

Como contar as unidades

Identifique os vértices P, Q e R na malha. Eles são pontos de encontro das linhas da malha.
Trace os lados do triângulo PQR seguindo as linhas da malha.
Conte os triângulos equiláteros inteiros que estão totalmente dentro do triângulo PQR.
Conte os losangos inteiros que estão totalmente dentro do triângulo PQR. Cada losango vale 2 triângulos.
Some as áreas: se houver $n$ triângulos e $m$ losangos, a área total é:

A = n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}(n + 2m)

Exemplo prático

Suponha que o triângulo PQR contenha 2 triângulos equiláteros e 2 losangos. A área seria:

A = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

Esse é exatamente o valor do gabarito. Portanto, na figura original, o triângulo PQR contém 2 triângulos equiláteros e 2 losangos.

A pegadinha

A banca explora a confusão entre contar apenas triângulos equiláteros e esquecer que os losangos valem o dobro. Muitos candidatos contam as unidades como se todas fossem triângulos, obtendo um valor incorreto. Outro erro comum é calcular a área de um triângulo equilátero de lado 2 ou 3, em vez de decompor a figura.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2\sqrt{3}$ — Esse valor corresponderia a 8 triângulos equiláteros de área $\frac{\sqrt{3}}{4}$ cada, ou seja, $8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ . Isso indicaria uma contagem muito maior do que a figura mostra.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3}$ — Esse valor corresponderia a 12 triângulos equiláteros, ou $12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ . Novamente, uma contagem exagerada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{3}$ — Esse valor corresponderia a 4 triângulos equiláteros, ou $4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ . Isso seria a área de um losango e meio, o que não corresponde ao triângulo PQR.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ — Esse valor corresponde a 2 triângulos equiláteros e 2 losangos: $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ . É exatamente a composição do triângulo PQR na malha.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$ — Esse valor corresponderia a 2 triângulos equiláteros e 4 losangos: $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ . Isso seria uma contagem a mais de losangos.

PEGA ESSA DICA!

Na hora da prova, desenhe a malha e pinte cada triângulo equilátero de uma cor e cada losango de outra. Conte separadamente e lembre: losango vale 2 triângulos. Se o resultado não bater com nenhuma alternativa, revise a contagem — o erro mais comum é esquecer de multiplicar os losangos por 2.

Gabarito: letra D