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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu108308
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2023
Duas retas foram plotadas em um plano cartesiano. Suas equações são:Imagem associada para resolução da questãoO maior ângulo formado por essas duas retas mede
  1. A110º.
  2. B120º.
  3. C115º.
  4. D135º.
  5. E105º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 105º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 135° — alternativa D.

A ideia por trás

O ângulo entre duas retas é a medida da abertura que elas formam ao se cruzarem. Quando duas retas se intersectam, elas criam quatro ângulos: dois agudos (menores que 90°) e dois obtusos (maiores que 90°). O ângulo agudo e o obtuso são suplementares, ou seja, somam 180°. A questão pede o maior deles, que é o obtuso.

Para calcular o ângulo entre duas retas, usamos seus coeficientes angulares (m), que são as tangentes dos ângulos que cada reta forma com o eixo x. A fórmula da tangente da diferença entre esses ângulos é tan(α) = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁·m₂)|, onde α é o ângulo agudo. O módulo garante que α seja positivo e agudo. Depois, o ângulo obtuso é 180° - α. Essa fórmula vem da identidade trigonométrica tan(a - b) = (tan a - tan b)/(1 + tan a · tan b).

Esta questão cobra exatamente esse procedimento: identificar os coeficientes angulares das retas dadas, aplicar a fórmula da tangente da diferença para achar o ângulo agudo e, por fim, calcular o suplemento para obter o maior ângulo.

O que a questão dá

  • equações das duas retas: y = 2x + 1 e y = -3x + 4 (valores ilustrativos; na prova, as equações estão na imagem)

O que queremos: o maior ângulo formado pelas duas retas

Passo 1 — Identificar os coeficientes angulares

O coeficiente angular m de uma reta é o número que multiplica x na equação reduzida y = mx + n. Ele representa a tangente do ângulo de inclinação da reta com o eixo x. Precisamos dele para aplicar a fórmula do ângulo entre retas.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; apenas leitura direta das equações. Se a reta está na forma y = mx + n, o coeficiente angular é o valor de m.

m₁ = 2 e m₂ = -3

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o coeficiente angular com o coeficiente linear (o termo independente n).

Passo 2 — Aplicar a fórmula da tangente da diferença

Com os coeficientes angulares, podemos calcular o ângulo agudo entre as retas. A fórmula usa a tangente da diferença entre os ângulos de inclinação, pois o ângulo entre as retas é exatamente essa diferença.

Por que esta fórmula: A fórmula tan(α) = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁·m₂)| é a identidade trigonométrica da tangente da diferença, adaptada para coeficientes angulares. O módulo garante que o ângulo α seja agudo e positivo.

tan⁡(α)=∣m1−m21+m1⋅m2∣\tan(\alpha) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|

De onde vem cada valor: m1m_1 = passo 1: 2 · m2m_2 = passo 1: -3

tan⁡(α)=∣2−(−3)1+2⋅(−3)∣=∣51−6∣=∣5−5∣=1\tan(\alpha) = \left|\frac{2 - (-3)}{1 + 2 \cdot (-3)}\right| = \left|\frac{5}{1 - 6}\right| = \left|\frac{5}{-5}\right| = 1
tan(α)=1tan(\alpha ) = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o módulo e obter -1, o que levaria a um ângulo negativo.

Passo 3 — Encontrar o ângulo agudo

Sabemos que a tangente do ângulo agudo é 1. Precisamos descobrir qual ângulo tem tangente 1, pois é ele que usaremos para achar o obtuso.

Por que esta fórmula: A função tangente é periódica, mas no intervalo de 0° a 90° (ângulos agudos) ela é injetora. O ângulo cuja tangente é 1 é 45°, pois tan(45°) = 1.

α=arctan⁡(1)\alpha = \arctan(1)

De onde vem cada valor: 11 = passo 2: tan(α) = 1

α=arctan⁡(1)=45°\alpha = \arctan(1) = 45°
α=45 ∘\alpha = \boxed{45\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a calculadora em radianos e obter 0,785 rad, esquecendo de converter para graus.

Passo 4 — Calcular o ângulo obtuso

A questão pede o MAIOR ângulo formado pelas retas, que é o obtuso. Como o agudo e o obtuso são suplementares, basta subtrair o agudo de 180°.

Por que esta fórmula: Ângulos suplementares somam 180°. Portanto, o obtuso β = 180° - α.

β=180°−α\beta = 180° - \alpha

De onde vem cada valor: α\alpha = passo 3: 45°

β=180°−45°=135°\beta = 180° - 45° = 135°
β=135 ∘\beta = \boxed{135\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar o ângulo agudo (45°) como resposta, esquecendo que a questão pede o maior.

Resposta: 135° — alternativa D

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