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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
vu108311
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2023
Considere uma lista com todos os anagramas formados com estas seis letras: ABBCCC. Sorteando-se um desses anagramas, a probabilidade de as duas letras B estarem juntas e ao lado de cada letra B estar uma letra C é de
  1. A12%
  2. B7%
  3. C5%
  4. D9%
  5. E10%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 10%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 5% — alternativa C.

A ideia por trás

Anagrama é qualquer reordenação das letras de uma palavra. Quando há letras repetidas, o número de anagramas distintos é dado pela permutação com repetição: divide-se o fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das repetições. Probabilidade, por sua vez, é a razão entre os casos que nos interessam e o total de casos possíveis.

A fórmula da permutação com repetição é P = n! / (p1! · p2! · ...), onde n é o total de elementos e p1, p2, ... são as quantidades de cada repetição. Ela existe porque trocar duas letras iguais de lugar não cria um anagrama novo. Para contar casos com restrição, costuma-se agrupar elementos que devem ficar juntos em um 'bloco' e contar as permutações desse bloco com os demais.

Esta questão pede para contar o total de anagramas e depois contar apenas aqueles em que o bloco BB está cercado por C's. A restrição 'cada B ao lado de um C' obriga o bloco BB a ficar entre dois C's, formando um super-bloco CBB C.

O que a questão dá

  • letras disponíveis: A, B, B, C, C, C

  • repetições: B aparece 2 vezes, C aparece 3 vezes

O que queremos: a probabilidade de, sorteando um anagrama, as duas letras B estarem juntas e cada B ter uma letra C ao lado

Passo 1 — Calcular o total de anagramas

A probabilidade é uma fração: precisamos primeiro saber o total de anagramas possíveis, que será o denominador. Como há letras repetidas, usamos a permutação com repetição.

Por que esta fórmula: A fórmula P = n! / (p1! · p2! · ...) conta os anagramas distintos quando há repetições. Aqui n = 6, com B repetido 2 vezes e C repetido 3 vezes.

P=6!2!⋅3!P = \frac{6!}{2! \cdot 3!}

De onde vem cada valor: 6!6! = enunciado: total de letras é 6 (A, B, B, C, C, C) · 2!2! = enunciado: B aparece 2 vezes · 3!3! = enunciado: C aparece 3 vezes

P=7202⋅6=60 anagramasP = \frac{720}{2 \cdot 6} = \boxed{60\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelas repetições e usar 6! = 720, o que daria probabilidade errada.

Passo 2 — Formar o super-bloco CBB C

A condição exige que as duas letras B fiquem juntas e que cada uma tenha um C ao lado. Isso só acontece se o bloco BB estiver entre dois C's, formando o bloco CBB C. Esse bloco passa a ser tratado como um único elemento.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma estratégia de contagem: agrupar elementos que devem ficar juntos. O bloco CBB C usa 2 C's e os 2 B's, restando 1 C para ser colocado em qualquer posição.

super−blocoCBBC+1Crestante\boxed{\text{super}-\text{bloco} \text{CBB} \text{C} + 1 \text{C} \text{restante}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o bloco BB pode ficar nas extremidades; mas aí um B ficaria sem vizinho C.

Passo 3 — Contar os anagramas favoráveis

Agora temos 3 elementos para permutar: o super-bloco CBB C e o C restante. Como os dois C's (um dentro do bloco e o solto) são idênticos, precisamos dividir por 2! para não contar anagramas repetidos.

Por que esta fórmula: A permutação de 3 elementos com 2 repetidos (os C's) é P = 3! / 2! = 3. Mas cuidado: o super-bloco CBB C tem uma única disposição interna (C-B-B-C), então não há multiplicação extra.

n(F)=3!2!n(F) = \frac{3!}{2!}

De onde vem cada valor: 3!3! = passo 2: temos 3 elementos (super-bloco, C, C) · 2!2! = passo 2: dois C's idênticos

n(F)=62n(F) = \frac{6}{2}

3 anagramas favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2! e contar 6, o que daria 10% de chance errada.

Passo 4 — Calcular a probabilidade

Com o total e os favoráveis em mãos, a probabilidade é a razão entre eles. Multiplicamos por 100 para obter a porcentagem.

Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis. É a definição básica.

P=n(F)n(U)×100%P = \frac{n(F)}{n(U)} \times 100\%

De onde vem cada valor: n(F)n(F) = passo 3: 3 · n(U)n(U) = passo 1: 60

P=360×100%=5 %P = \frac{3}{60} \times 100\% = \boxed{5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem e calcular 60/3, o que daria 2000%.

Resposta: 5% — alternativa C

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