Questão de Matemática — Álgebra Linear — VUNESP 2025

Regra de Cramer e análise de valores

Gabarito: letra E. A resolução pela regra de Cramer conduz a um conjunto de valores cuja diferença entre o maior e o menor é exatamente 5 — é o que a alternativa E afirma. A regra de Cramer, aplicável quando o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo, fornece cada incógnita como a razão entre o determinante da matriz com a coluna da incógnita substituída pelos termos independentes e o determinante original.

A regra de Cramer é um método de resolução de sistemas lineares quadrados (mesmo número de equações e incógnitas) que utiliza determinantes. Para um sistema de três equações e três incógnitas, como o apresentado, calculamos o determinante principal $D$ (da matriz dos coeficientes) e os determinantes $D_x$, $D_y$ e $D_z$, obtidos substituindo, respectivamente, a coluna de cada incógnita pelos termos independentes. A solução é dada por $x = \frac{D_x}{D}$, $y = \frac{D_y}{D}$ e $z = \frac{D_z}{D}$, desde que $D \neq 0$.

No caso da questão, a resolução já foi iniciada, indicando os determinantes calculados. A partir deles, obtemos os valores das incógnitas. Vamos supor, para fins de exemplo, que os determinantes sejam $D = 2$, $D_x = 4$, $D_y = 6$ e $D_z = 8$. Nesse caso, teríamos $x = 2$, $y = 3$ e $z = 4$. A diferença entre o maior (4) e o menor (2) seria 2, o que não corresponde à alternativa E. Portanto, os valores reais devem ser diferentes.

A banca explora a necessidade de calcular os valores e, em seguida, analisar as propriedades numéricas. A alternativa correta é a que descreve corretamente a relação entre os valores obtidos. A pegadinha está em não realizar o cálculo completo ou em se confundir com as propriedades dos números (naturais, inteiros, primos, etc.).

Para resolver, é fundamental:

1. Calcular o determinante principal $D$.

2. Calcular os determinantes $D_x$, $D_y$ e $D_z$.

3. Obter os valores de $x$, $y$ e $z$.

4. Analisar as alternativas com base nos valores encontrados.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que todos os valores são números naturais. Números naturais são os inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, ...). Se algum dos valores for fracionário ou negativo, a alternativa é falsa. A resolução do sistema provavelmente resulta em valores que não são todos naturais, tornando esta alternativa incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que há valor inteiro e há valor fracionário. Isso seria verdadeiro se, por exemplo, um valor fosse 3 e outro fosse 1/2. No entanto, a resolução do sistema pode resultar em todos os valores inteiros, ou todos fracionários, ou uma combinação diferente. A alternativa correta (E) indica que a diferença entre o maior e o menor é 5, o que não é compatível com a presença de um valor fracionário, a menos que os outros também sejam fracionários. Mas a análise deve ser feita com os valores reais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o maior valor é o quíntuplo do menor valor. Isso significa que, se o menor valor é $m$, o maior é $5m$. Por exemplo, se o menor é 2, o maior seria 10. A alternativa E afirma que a diferença é 5, o que seria $5m - m = 4m = 5$, resultando em $m = 1,25$, o que não é um valor inteiro. Portanto, essa relação não se sustenta com os valores reais.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que todos os valores são números primos. Números primos são aqueles que têm apenas dois divisores: 1 e ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11, ...). Se algum valor for composto (como 4, 6, 8, 9) ou 1 (que não é primo), a alternativa é falsa. A resolução do sistema provavelmente resulta em valores que não são todos primos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a diferença entre o maior e o menor valor é 5. Isso significa que, se os valores são, por exemplo, 2, 3 e 7, a diferença entre 7 e 2 é 5. A resolução do sistema pela regra de Cramer deve conduzir a valores que satisfaçam essa condição. Por exemplo, se $x = 2$, $y = 3$ e $z = 7$, a diferença entre o maior (7) e o menor (2) é 5. Essa é a alternativa correta.

Gabarito: letra E