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Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2025

MatemáticaProgressões
Código
vu108317
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2023
Uma lesma percorre uma determinada distância, em cm, em seu primeiro dia de movimentação. No segundo dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no dia anterior. No terceiro dia, ela percorre 10 cm a mais do que percorreu no segundo dia e assim segue, sempre aumentando a distância percorrida em 10 cm relativamente ao percorrido no dia anterior. Prossegue dessa maneira até terminar sua caminhada do 22o dia. Sabendo que ela percorreu ao todo, nesses 22 dias, a distância de 28,6 m, é correto afirmar que o primeiro dia em que a lesma percorreu mais que 1 metro e meio no mesmo dia foi o
  1. A15º.
  2. B16º.
  3. C14º.
  4. D17º.
  5. E13º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 14º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 14º dia (letra C).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando uma constante (a razão) ao anterior. Aqui, as distâncias diárias formam uma PA de razão 10 cm, pois a lesma aumenta 10 cm a cada dia. A soma dos primeiros n termos de uma PA é dada por S_n = (a_1 + a_n)·n/2, onde a_1 é o primeiro termo e a_n é o enésimo termo. Essa fórmula é útil quando conhecemos a soma total e queremos descobrir o primeiro termo. Nesta questão, usamos a soma dos 22 dias para achar a_1 e depois o termo geral para achar o dia em que a distância passa de 150 cm.

O que a questão dá

  • razão da PA = 10 cm/dia

  • número de dias = 22

  • distância total = 28,6 m

O que queremos: o primeiro dia em que a distância percorrida ultrapassa 1,5 m (150 cm)

Passo 1 — Converter metros para centímetros

A soma dos 22 dias é dada em metros, mas as distâncias diárias estão em centímetros. Para usar a fórmula da soma da PA, precisamos que todas as unidades sejam iguais. Como 1 m = 100 cm, multiplicamos 28,6 por 100.

Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 m = 100 cm, então para transformar metros em centímetros multiplicamos por 100.

S22=28,6×100S_{22} = 28{,}6 \times 100

De onde vem cada valor: 28,628{,}6 = enunciado: 28,6 m · 100100 = fator de conversão: 1 m = 100 cm

S22=28,6×100=2860 cmS_{22} = 28{,}6 \times 100 = \boxed{2860\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 28,6 na fórmula da soma, o que daria um resultado absurdo.

Passo 2 — Escrever o termo geral da PA

Precisamos de uma expressão para a distância de qualquer dia n, pois vamos usar o 22º termo na fórmula da soma. Como a razão é 10, o termo geral é a_1 + (n-1)·10.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde r é a razão. Aqui r = 10.

an=a1+(n−1)⋅10a_n = a_1 + (n-1) \cdot 10

De onde vem cada valor: a1a_1 = primeiro termo (desconhecido) · nn = número do dia · 1010 = razão da PA (enunciado: 10 cm a mais por dia)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a razão com o primeiro termo, ou usar n em vez de n-1.

Passo 3 — Calcular o 22º termo

A fórmula da soma usa o primeiro e o último termo. Como temos 22 dias, o último termo é a_22. Substituímos n = 22 na expressão do passo 2.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do termo geral com n = 22.

a22=a1+(22−1)⋅10=a1+210a_{22} = a_1 + (22-1) \cdot 10 = a_1 + 210

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 2 · 2222 = enunciado: 22 dias · 1010 = razão da PA

a22=a1+21⋅10=a1+210a_{22} = a_1 + 21 \cdot 10 = \boxed{\text{a}_1 + 210}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 22 em vez de 21 no fator (n-1).

Passo 4 — Aplicar a fórmula da soma da PA

Temos a soma total (2860 cm) e o último termo em função de a_1. A fórmula da soma relaciona tudo isso, permitindo achar a_1.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é S_n = (a_1 + a_n)·n/2. Aqui n = 22.

S22=(a1+a22)⋅222S_{22} = \frac{(a_1 + a_{22}) \cdot 22}{2}

De onde vem cada valor: S22S_{22} = passo 1: 2860 cm · a1a_1 = primeiro termo (desconhecido) · a22a_{22} = passo 3: a_1 + 210 · 2222 = enunciado: 22 dias

2860=(a1+a1+210)⋅2222860 = \frac{(a_1 + a_1 + 210) \cdot 22}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 ou errar na soma dos termos.

Passo 5 — Simplificar a equação da soma

A equação do passo 4 tem parênteses e fração. Simplificamos para isolar a_1.

Por que esta fórmula: Fazemos a álgebra: somamos a_1 + a_1 = 2a_1, depois multiplicamos por 22 e dividimos por 2, resultando em 11·(2a_1 + 210).

2860=(2a1+210)⋅112860 = (2a_1 + 210) \cdot 11

De onde vem cada valor: 28602860 = passo 1 · 2a12a_1 = a_1 + a_1 · 210210 = passo 3 · 1111 = 22/2

2860=(2a1+210)⋅112860 = (2a_1 + 210) \cdot 11
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação de 22/2 = 11.

Passo 6 — Isolar o primeiro termo

Precisamos do valor de a_1 para saber as distâncias diárias. Resolvemos a equação do passo 5.

Por que esta fórmula: Dividimos ambos os lados por 11, depois subtraímos 210 e dividimos por 2.

a1=286011−2102a_1 = \frac{\frac{2860}{11} - 210}{2}

De onde vem cada valor: 28602860 = passo 1 · 1111 = passo 5 · 210210 = passo 3

a1=260−2102=25 cma_1 = \frac{260 - 210}{2} = \boxed{25\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer as operações na ordem errada, por exemplo subtrair antes de dividir.

Passo 7 — Montar a inequação para ultrapassar 150 cm

Queremos o primeiro dia em que a distância é maior que 150 cm. Usamos o termo geral com a_1 = 25 e impomos a_n > 150.

Por que esta fórmula: A condição é a_n > 150, onde a_n é dado pela fórmula do termo geral.

25+(n−1)⋅10>15025 + (n-1) \cdot 10 > 150

De onde vem cada valor: 2525 = passo 6 · 1010 = razão da PA · 150150 = enunciado: 1,5 m = 150 cm

25+(n−1)⋅10>15025 + (n-1) \cdot 10 > 150
NÃO CAIA NESSA!

Usar ≥ em vez de >, pois a questão diz 'mais que 1 metro e meio'.

Passo 8 — Resolver a inequação e achar o dia

Precisamos do menor n inteiro que satisfaz a desigualdade. Isolamos n.

Por que esta fórmula: Subtraímos 25, dividimos por 10 e somamos 1.

n>13,5n > 13{,}5

De onde vem cada valor: 13,513{,}5 = cálculo: (150-25)/10 + 1

n>13,5n > 13{,}5
n=14n = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 13, esquecendo que n deve ser inteiro e maior que 13,5.

Resposta: 14º dia (letra C)

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