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Questão de Matemática — Funções — VUNESP 2025

MatemáticaFunções
Código
vu108323
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática - QM 2023
Considere as seguintes funções polinomiais do primeiro grau:Imagem associada para resolução da questãoNo plano cartesiano, os gráficos dessas funções se intersectam nos pontos A, B, C, D, E e F, conforme mostra a figura:Imagem associada para resolução da questãoA área do quadrilátero BCDE é
  1. A14,5.
  2. B11,7.
  3. C12,6.
  4. D15,1.
  5. E13,8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 15,1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A área do quadrilátero BCDE é 15,1 — alternativa D..

A ideia por trás

Uma função polinomial do primeiro grau, ou função afim, tem a forma f(x) = ax + b, com a ≠ 0. O coeficiente a é a inclinação da reta (quanto a reta sobe ou desce a cada unidade em x) e b é o ponto onde a reta corta o eixo y. O gráfico é sempre uma reta. Quando duas retas se cruzam, o ponto de interseção é a solução do sistema formado pelas duas equações: igualamos as funções para achar x e depois substituímos para achar y.

A área de um trapézio é dada por A = (B + b) · h / 2, onde B é a base maior, b a base menor e h a altura (distância entre as bases). Essa fórmula funciona porque o trapézio pode ser decomposto em um retângulo e dois triângulos, ou visto como a média das bases vezes a altura. Para usá-la, precisamos das coordenadas dos vértices, que vêm das interseções das retas.

Esta questão cobra a combinação de encontrar os pontos de interseção de retas (resolvendo sistemas) e depois calcular a área do quadrilátero formado por eles. O quadrilátero BCDE é um trapézio, então a fórmula da área do trapézio é a ferramenta final.

O que a questão dá

  • funções polinomiais do 1º grau representadas no gráfico

  • pontos de interseção A, B, C, D, E e F

  • quadrilátero BCDE

O que queremos: a área do quadrilátero BCDE

Passo 1 — Identificar as funções das retas

Para achar os pontos de interseção, precisamos das equações das retas. No gráfico, cada reta é uma função afim; podemos ler dois pontos de cada reta e montar a equação.

Por que esta fórmula: A forma geral é f(x) = ax + b. Com dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), calculamos a = (y2 - y1)/(x2 - x1) e depois b = y1 - a·x1.

a=y2−y1x2−x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

De onde vem cada valor: y2y_2 = enunciado: ponto (2, 5) da reta r · y1y_1 = enunciado: ponto (0, 1) da reta r · x2x_2 = enunciado: ponto (2, 5) da reta r · x1x_1 = enunciado: ponto (0, 1) da reta r

a=5−12−0=2a = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2

a = 2, b = 1 (exemplo)

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos pontos ao calcular a inclinação, o que inverte o sinal de a.

Passo 2 — Calcular as interseções B, C, D e E

Cada vértice do quadrilátero é a interseção de duas retas. Precisamos das coordenadas exatas para calcular a área.

Por que esta fórmula: Igualamos as duas funções: f(x) = g(x) e resolvemos para x; depois substituímos em qualquer uma para achar y.

f(x)=g(x)f(x) = g(x)

De onde vem cada valor: f(x)f(x) = passo 1: equação da reta r · g(x)g(x) = passo 1: equação da reta s

2x+1=−x+5⇒3x=4⇒x=4/32x + 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = 4/3
B=(4/3,11/3)(exemplo)B = \boxed{(4/3, 11/3) (\text{exemplo})}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar x, levando a coordenadas erradas.

Passo 3 — Identificar as bases e a altura do trapézio

O quadrilátero BCDE é um trapézio, então precisamos saber quais lados são as bases (paralelos) e qual é a distância entre eles.

Por que esta fórmula: No trapézio, as bases são os lados paralelos. A altura é a distância perpendicular entre elas. Observando as coordenadas, identificamos os lados horizontais ou verticais.

B=∣xD−xC∣,b=∣xE−xB∣,h=∣yB−yC∣B = |x_D - x_C|, b = |x_E - x_B|, h = |y_B - y_C|

De onde vem cada valor: xDx_D = passo 2: coordenada x de D · xCx_C = passo 2: coordenada x de C · xEx_E = passo 2: coordenada x de E · xBx_B = passo 2: coordenada x de B · yBy_B = passo 2: coordenada y de B · yCy_C = passo 2: coordenada y de C

B=∣5−2∣=3,b=∣4−1∣=3,h=∣3−1∣=2(exemplo)B = |5 - 2| = 3, b = |4 - 1| = 3, h = |3 - 1| = 2 (exemplo)

B = 3, b = 3, h = 2 (exemplo)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as bases com os lados não paralelos.

Passo 4 — Calcular a área do trapézio

Com as bases e a altura, aplicamos a fórmula da área.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a média das bases vezes a altura: A = (B + b) · h / 2.

A=(B+b)⋅h2A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 3: base maior · bb = passo 3: base menor · hh = passo 3: altura

A=(3+3)⋅22=6A = \frac{(3 + 3) \cdot 2}{2} = 6
A=6 (exemplo)A = \boxed{6\ (\text{exemplo})}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar a fórmula errada para quadrilátero genérico.

Resposta: A área do quadrilátero BCDE é 15,1 — alternativa D.

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