Uma bola de massa m cai em linha reta, colide com o chão e volta a subir com velocidade v/4 , sendo v a velocidade da bola antes de tocar o solo, conforme ilustra a imagem a seguir:O módulo da variação da quantidade de movimento da bola imediatamente antes e imediatamente depois da colisão representa quantos por cento da quantidade de movimento inicial?
A75%
B50%
C125%
D25%
E150%
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GabaritoC — 125%
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 125% — alternativa C.
A ideia por trás
A quantidade de movimento (ou momento linear) de um corpo é uma grandeza vetorial que mede o 'esforço' necessário para pará-lo: é o produto da massa pela velocidade, Q = m·v. Por ser vetorial, ela tem módulo, direção e sentido — e é o sentido que faz toda a diferença quando o movimento inverte.
A variação de qualquer grandeza vetorial é sempre o valor final menos o inicial: ΔQ = Q_final − Q_inicial. Quando a velocidade inverte o sentido, o vetor final aponta para o lado oposto ao inicial, então na subtração os módulos se SOMAM. Se a velocidade apenas mudasse de tamanho sem inverter, a variação seria a diferença dos módulos.
Esta questão cobra exatamente esse detalhe vetorial: a bola cai e sobe em sentidos opostos, então a variação da quantidade de movimento é a soma dos módulos, não a subtração. Decidir o sinal de cada velocidade é o passo que separa o acerto do erro.
O que a questão dá
velocidade antes da colisão: v (para baixo)
velocidade depois da colisão: v/4 (para cima)
massa da bola: m
O que queremos: o módulo da variação da quantidade de movimento em porcentagem da quantidade de movimento inicial
Passo 1 — Definir o sentido positivo e os vetores
Antes de qualquer conta, precisamos de um referencial: sem ele, não sabemos qual velocidade é positiva e qual é negativa. Escolher 'para cima' como positivo é natural, pois a bola sobe depois do quique.
NÃO CAIA NESSA!
Não definir um sentido e depois errar o sinal da velocidade final — sem referencial, a soma vira subtração.
Passo 2 — Escrever as quantidades de movimento inicial e final
A quantidade de movimento é o produto da massa pela velocidade, e precisamos dela nos dois instantes para calcular a variação. Como a velocidade final tem sentido contrário, ela entra com sinal negativo.
Por que esta fórmula: Q = m·v é a definição de quantidade de movimento. Aplicamos duas vezes: uma com a velocidade antes (positiva, para baixo) e outra com a velocidade depois (negativa, para cima).
De onde vem cada valor: = enunciado: massa da bola · = enunciado: velocidade antes da colisão · = enunciado: velocidade depois da colisão, com sinal negativo por apontar para cima
Q_i = mv ; Q_f = -mv/4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal negativo na velocidade final — sem ele, a variação vira diferença e dá 75%.
Passo 3 — Calcular a variação da quantidade de movimento
A variação é sempre o estado final menos o inicial. Como o final é negativo e o inicial é positivo, subtrair um número negativo equivale a somar os módulos — é aqui que a inversão de sentido entra na conta.
Por que esta fórmula: ΔQ = Q_f − Q_i é a definição de variação. Substituímos os valores do passo anterior e resolvemos a subtração com o sinal negativo.
De onde vem cada valor: = passo 2: -mv/4 · = passo 2: mv
NÃO CAIA NESSA!
Fazer mv − mv/4 = 3mv/4, tratando os vetores como escalares — a inversão de sentido exige somar os módulos.
Passo 4 — Comparar com a quantidade de movimento inicial
A questão pede a variação em porcentagem da quantidade inicial. Já temos os dois valores; agora é só dividir um pelo outro e transformar em porcentagem.
Por que esta fórmula: A porcentagem é a razão entre a variação e o valor inicial, vezes 100. Como a massa m aparece nos dois, ela se cancela.
De onde vem cada valor: = passo 3: 5mv/4 · = passo 2: mv
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 100 e responder 1,25 — a questão pede porcentagem.
O módulo da variação da quantidade de movimento da bola imediatamente antes e imediatamente depois da colisão representa quantos por cento da quantidade de movimento inicial?