GabaritoE — 61/151
Gabarito: letra E — a conta chega a 61/151 (alternativa E).
A probabilidade mede a chance de um evento ocorrer entre todos os resultados possíveis, e é calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Aqui, os casos possíveis são todos os números inteiros de 0 a 150, e os favoráveis são os que são múltiplos de 4 ou de 5. Para contar esses favoráveis, usamos o princípio da inclusão-exclusão: quando somamos os múltiplos de 4 com os de 5, os números que são múltiplos de ambos (ou seja, de 20) são contados duas vezes, então precisamos subtraí-los uma vez. Essa ideia é a mesma da fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Nesta questão, o desafio é contar corretamente os múltiplos em um intervalo que inclui o zero, e aplicar a inclusão-exclusão para evitar a dupla contagem.
intervalo: de 0 a 150, inclusive
condição: ser múltiplo de 4 ou de 5
O que queremos: a probabilidade de o número escolhido ser múltiplo de 4 ou de 5
Para calcular probabilidade, precisamos saber o total de casos possíveis. Como o intervalo inclui os extremos, o total é o último menos o primeiro mais um.
Por que esta fórmula: A quantidade de números inteiros consecutivos de a até b, inclusive, é b − a + 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: 150 · = enunciado: 0
Esquecer de incluir o zero, contando 150 em vez de 151.
Precisamos saber quantos números do intervalo são múltiplos de 4, pois eles formam um dos conjuntos do evento. Múltiplos de 4 são números que podem ser escritos como 4 vezes um inteiro; no intervalo, eles vão de 0 até o maior múltiplo de 4 que não passa de 150.
Por que esta fórmula: A quantidade de múltiplos de um número k em um intervalo de 0 a n é dada por (maior múltiplo ÷ k) + 1, onde o +1 inclui o zero.
De onde vem cada valor: = maior múltiplo de 4 menor ou igual a 150 · = o número cujos múltiplos contamos
Esquecer o +1 (o zero), contando 37 em vez de 38.
Assim como fizemos para o 4, precisamos contar quantos números são múltiplos de 5, pois eles formam o outro conjunto do evento. O maior múltiplo de 5 no intervalo é o próprio 150.
Por que esta fórmula: Mesma lógica: (maior múltiplo ÷ 5) + 1, incluindo o zero.
De onde vem cada valor: = maior múltiplo de 5 no intervalo · = o número cujos múltiplos contamos
Esquecer o +1, contando 30 em vez de 31.
Os números que são múltiplos de 4 e de 5 ao mesmo tempo são múltiplos do mínimo múltiplo comum, que é 20. Esses números foram contados duas vezes (uma em cada conjunto), então precisamos saber quantos são para subtrair depois.
Por que esta fórmula: O mmc de 4 e 5 é 20, pois são primos entre si. A contagem segue a mesma fórmula: (maior múltiplo ÷ 20) + 1.
De onde vem cada valor: = maior múltiplo de 20 menor ou igual a 150 · = mmc(4,5)
Esquecer que o zero também é múltiplo de 20, contando 7 em vez de 8.
Para saber quantos números são múltiplos de 4 ou de 5, somamos as quantidades de cada conjunto e subtraímos a interseção, porque os múltiplos de 20 foram contados duas vezes. Essa é a essência do princípio da inclusão-exclusão.
Por que esta fórmula: A união de dois conjuntos tem tamanho dado por |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
De onde vem cada valor: = passo 2: 38 · = passo 3: 31 · = passo 4: 8
Esquecer de subtrair a interseção, obtendo 69.
A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis (múltiplos de 4 ou 5) e os casos possíveis (todos os números). Já temos os dois valores, então basta dividir.
Por que esta fórmula: Probabilidade = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis).
De onde vem cada valor: = passo 5: 61 · = passo 1: 151
Usar 150 no denominador, esquecendo o zero.
Resposta: 61/151 (alternativa E)
Link permanente: /questoes/vu109365