Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu109366

MatemáticaAlgoritmo

Código: vu109366
Banca: VUNESP
Órgão: SEDUC-SP
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Professor de Ensino Fundamental e Médio - Matemática

Para aprofundar os conceitos de algoritmos e linguagem de programação, uma professora propôs uma atividade a ser desenvolvida em um ambiente de geometria dinâmica. Para essa atividade, foi definido que qualquer ponto construído, definido ou determinado seria denominado ponto criado e teria a cor preta como cor inicial.A atividade proposta era executar o seguinte algoritmo:Defina um ponto ADefina um ponto B de maneira que a distância entreA e B seja 100Construa o ponto médio entre A e BRepita 6 vezes os comandos entre chaves{Mude a cor de todos os pontos criados para a cor azul. Determine o ponto médio de qualquer par de pontos consecutivos de cor azul}Entre os pontos criados, determine a distância entre dois pontos consecutivos quaisquer e atribua esse valor à variável dApós a execução do algoritmo, o valor da variável d será

A25/32
B25/64
C20/19
D50/47
E100/127

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 25/32

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a d = 25/32 — alternativa A.

A ideia por trás

Este problema trata de um processo iterativo de construção de pontos médios. A cada passo, dividimos cada segmento existente ao meio, criando novos pontos. A distância entre pontos consecutivos é o comprimento de cada pequeno segmento resultante.

A cada divisão, o número de segmentos dobra e o comprimento de cada um é dividido por 2. Se começamos com 1 segmento de comprimento L, após n divisões temos 2^n segmentos, cada um com comprimento L / 2^n. Essa relação é exponencial: cada divisão reduz o comprimento pela metade.

A questão pede a distância após 6 repetições do laço, mas é preciso contar corretamente quantas divisões ocorrem: o ponto médio inicial antes do laço já é uma divisão, e cada repetição adiciona outra.

O que a questão dá

distância inicial entre A e B = 100
número de repetições do laço = 6

O que queremos: a distância entre dois pontos consecutivos quaisquer após a execução do algoritmo

Passo 1 — Contar quantas divisões acontecem

Antes de calcular a distância, precisamos saber quantas vezes o segmento original foi dividido ao meio. O algoritmo cria um ponto médio antes do laço e depois repete 6 vezes, então o total de divisões é 1 + 6 = 7.

\boxed{7\ \text{divis}õ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas as 6 repetições e esquecer o ponto médio inicial, o que daria 6 divisões e resposta errada.

Passo 2 — Calcular a distância final

Com o número total de divisões, aplicamos a relação: cada divisão reduz o comprimento pela metade. Após 7 divisões, o comprimento é 100 dividido por 2 sete vezes.

Por que esta fórmula: A distância entre pontos consecutivos após n divisões é o comprimento original dividido por 2^n, pois cada divisão multiplica o número de segmentos por 2 e divide o comprimento por 2.

d = frac1002^7

De onde vem cada valor: $100$ = enunciado: distância inicial entre A e B · $2^{7}$ = passo 1: 7 divisões

d = \frac{100}{128} = \frac{25}{32} = \boxed{25\ /32}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 2^6 = 64 em vez de 2^7 = 128, obtendo 25/16.

Resposta: d = 25/32 — alternativa A

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