Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — VUNESP 2025

Distribuição Normal: probabilidades em intervalos

Gabarito: letra E. Com média de 11 dias e desvio padrão de 3 dias, o intervalo de 8 a 14 dias corresponde a um desvio padrão abaixo e um acima da média (11 − 3 = 8 e 11 + 3 = 14). Pela regra empírica da distribuição normal, aproximadamente 68,26% dos dados estão nesse intervalo — exatamente o que a alternativa E afirma.

A distribuição normal é a mais importante das distribuições de probabilidade contínuas. Ela tem formato de sino, é simétrica em torno da média, e a média, a mediana e a moda coincidem. A probabilidade de a variável assumir valores em um intervalo é a área sob a curva entre esses dois pontos. Para calcular essa área, padronizamos a variável: subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão, obtendo o escore Z. O enunciado fornece os valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, φ(z) = P(Z ≤ z), que nos dão diretamente as áreas.

A questão explora a relação entre o número de desvios padrão e a porcentagem de dados no intervalo. Essa relação é conhecida como regra empírica (ou regra 68-95-99,7):

A pegadinha da banca está em misturar os intervalos: as alternativas A, B e C falam do intervalo de 5 a 11 dias (que não é simétrico em torno da média), enquanto D e E falam do intervalo de 8 a 14 dias (que é simétrico). O candidato que decora a regra empírica, mas não verifica qual intervalo corresponde a qual número de desvios, erra.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo de 5 a 11 dias vai de 11 − 6 a 11, ou seja, de dois desvios padrão abaixo da média até a média (5 = 11 − 2×3). A probabilidade de Z entre −2 e 0 é φ(0) − φ(−2) = 0,5000 − 0,0228 = 0,4772, ou 47,72%. O valor de 84,13% corresponderia a um intervalo de um desvio padrão abaixo da média até a média (φ(0) − φ(−1) = 0,5000 − 0,1587 = 0,3413, que é 34,13%, não 84,13%). A alternativa erra ao atribuir 84,13% a esse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo de 5 a 11 dias corresponde a dois desvios padrão abaixo da média até a média. A probabilidade é de 47,72%, não 95,44%. O valor de 95,44% é a probabilidade de o dado estar entre μ − 2σ e μ + 2σ, ou seja, entre 5 e 17 dias (11 − 6 = 5 e 11 + 6 = 17). A alternativa troca o intervalo: usa o percentual de dois desvios, mas aplica a um intervalo que só vai até a média.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo de 5 a 11 dias corresponde a dois desvios padrão abaixo da média até a média. A probabilidade é de 47,72%, não 99,74%. O valor de 99,74% é a probabilidade de o dado estar entre μ − 3σ e μ + 3σ, ou seja, entre 2 e 20 dias (11 − 9 = 2 e 11 + 9 = 20). A alternativa usa o percentual de três desvios, mas o intervalo apresentado não corresponde a três desvios padrão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo de 8 a 14 dias corresponde a um desvio padrão abaixo e um acima da média (8 = 11 − 3 e 14 = 11 + 3). A probabilidade de Z entre −1 e 1 é φ(1) − φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826, ou 68,26%. O valor de 95,44% seria correto para o intervalo de μ ± 2σ, ou seja, de 5 a 17 dias. A alternativa troca o percentual: usa o de dois desvios, mas o intervalo é de um desvio.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo de 8 a 14 dias corresponde exatamente a μ ± 1σ, ou seja, um desvio padrão abaixo e um acima da média. Pela regra empírica, aproximadamente 68,26% dos dados de uma distribuição normal estão nesse intervalo. Confirmando com os valores fornecidos: P(8 < X < 14) = P(−1 < Z < 1) = φ(1) − φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826 = 68,26%. A alternativa está correta.

Gabarito: letra E