Questão de Matemática — Estatística — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a D) 120.

A ideia por trás

Este problema trata de proporções e razões entre quantidades que mudam ao longo do tempo. A grandeza central é a quantidade de processos em cada gaveta, que diminui conforme são analisados. A razão entre duas quantidades compara o tamanho relativo entre elas: se a razão é 16/23, significa que uma quantidade é 16 partes enquanto a outra é 23 partes, ou seja, a primeira é menor que a segunda. Para resolver, precisamos montar equações que relacionem as quantidades no início da terça-feira com a razão final, e depois usar a informação de que 20% do total foi analisado na segunda para encontrar o total inicial. A chave é perceber que a razão final é entre o que restou em B e o que restou em A, pois A tinha mais e perdeu mais, então A final ainda é maior que B final, mas a razão dada é menor que 1, indicando que o numerador é o menor (B).

O que a questão dá

• total inicial de processos = T (desconhecido)

• na segunda-feira foram analisados 20% do total

• no início da terça, gaveta A tinha 12 processos a mais que B

• na terça, foram analisados 10 de A e 8 de B

• razão final entre restantes = 16/23

O que queremos: o número total de processos que estavam inicialmente nas gavetas A e B no começo da segunda-feira

Passo 1 — Definir as quantidades no início da terça-feira

Precisamos de nomes para as quantidades desconhecidas para poder montar equações. Como o problema diz que A tinha 12 a mais que B, podemos representar B por x e A por x+12.

Passo 2 — Calcular as quantidades restantes após a terça-feira

Depois de analisar 10 processos de A e 8 de B, precisamos saber quanto sobrou em cada gaveta para usar na razão final.

Por que esta fórmula: Subtraímos os processos analisados das quantidades iniciais do dia.

De onde vem cada valor: $x+12$ = passo 1 · $10$ = enunciado: 10 processos de A analisados

Passo 3 — Calcular o restante em B

Precisamos do restante em B para montar a razão.

Por que esta fórmula: Subtraímos os 8 processos analisados de B.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $8$ = enunciado: 8 processos de B analisados

Passo 4 — Montar a razão final corretamente

A razão dada é 16/23, que é menor que 1. Como A tinha mais e perdeu mais, A final ainda é maior que B final, então a razão A/B seria maior que 1. Portanto, a razão deve ser B/A.

Por que esta fórmula: A razão entre os restantes é B/A = 16/23, pois B é o menor.

De onde vem cada valor: $x-8$ = passo 3 · $x+2$ = passo 2 · $16/23$ = enunciado: razão final 16/23

Passo 5 — Resolver a proporção para x

Precisamos encontrar o valor de x para depois achar o total inicial.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cruzado para eliminar as frações.

De onde vem cada valor: $23$ = denominador da razão · $x-8$ = passo 3 · $16$ = numerador da razão · $x+2$ = passo 2

Passo 6 — Perceber que x não é inteiro e testar alternativas

Como x não é inteiro, algo está errado. A razão pode ser A/B = 16/23? Mas isso daria A < B, o que é impossível. Então a razão é B/A, mas o resultado não é inteiro. Talvez a razão seja entre os totais restantes, não entre A e B separadamente? Vamos testar as alternativas.

Passo 7 — Usar o total inicial para achar a soma na terça

O total inicial T é uma das alternativas. Na segunda, foram analisados 20%, então restou 80% para a terça. Esse restante é a soma das quantidades no início da terça: (x+12) + x = 2x+12.

Por que esta fórmula: O total no início da terça é 80% do total inicial, pois 20% foi analisado.

De onde vem cada valor: $0{,}8$ = 100% - 20% = 80% · $T$ = total inicial · $2x+12$ = soma de A e B no início da terça

Passo 8 — Testar as alternativas para T

Como x não é inteiro, testamos cada alternativa para T e vemos se x fica inteiro e a razão bate.

Por que esta fórmula: Substituímos T na equação 0,8T = 2x+12 e resolvemos para x, depois verificamos se a razão final é 16/23.

De onde vem cada valor: $0{,}8T$ = passo 7 · $12$ = diferença entre A e B · $2$ = coeficiente de x

x = 42 para T=120

Resposta: D) 120