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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu110713
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Contador Judiciário
Em uma empresa, o salário de cinco funcionários é de R$ 10.000,00, sete funcionários recebem R$ 8.000,00, e, dos demais funcionários, metade recebe R$ 6.000,00, dois sétimos recebem R$ 7.000,00 e três quatorze avos recebem R$ 4.000,00, o que faz com que a média aritmética simples dos salários dos funcionários dessa empresa seja igual a R$ 6.750,00.A quantidade de funcionários dessa empresa é igual a
  1. A40.
  2. B24.
  3. C28.
  4. D54.
  5. E68.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 40.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 40 funcionários (alternativa A).

A ideia por trás

A média aritmética simples é o valor que representa o centro de um conjunto de dados: somam-se todos os valores e divide-se pela quantidade de elementos. No caso de salários, ela indica o salário típico da empresa. Quando os valores aparecem repetidos, a soma pode ser feita multiplicando cada valor pela sua frequência (quantas vezes aparece) — é a média ponderada. A fórmula é xˉ\bar{x} = ∑(valor×freque^ncia)N\frac{\sum (valor \times frequência)}{N}, onde N é o total de funcionários. Se a frequência de cada faixa é dada em fração do total, montamos uma equação com N como incógnita e resolvemos. Nesta questão, as frequências dos 'demais' funcionários são frações de (N - 12), e a soma dessas frações deve ser 1, o que confere a consistência dos dados.

O que a questão dá

  • 5 funcionários recebem R$ 10.000,00

  • 7 funcionários recebem R$ 8.000,00

  • dos demais: metade recebe R$ 6.000,00, dois sétimos recebem R$ 7.000,00, três quatorze avos recebem R$ 4.000,00

  • média salarial = R$ 6.750,00

O que queremos: o número total de funcionários da empresa

Passo 1 — Definir o total de funcionários como N

Precisamos de um símbolo para o número total de funcionários, pois as quantidades nas faixas salariais dependem dele. Chamaremos de N.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de definir N e tentar resolver por tentativa.

Passo 2 — Calcular quantos são os demais funcionários

As frações (metade, dois sétimos, três quatorze avos) se referem aos funcionários que não estão nas duas primeiras faixas. Precisamos saber quantos são esses para aplicar as frações.

Por que esta fórmula: O total N menos os 12 já conhecidos (5 + 7) dá o número de demais.

N−12N - 12

De onde vem cada valor: NN = passo 1 · 1212 = enunciado: 5 + 7 funcionários

N−12N - 12
NÃO CAIA NESSA!

Usar N em vez de N-12 nas frações.

Passo 3 — Escrever as quantidades de cada faixa dos demais

Cada fração do enunciado indica quantos funcionários recebem cada salário. Multiplicamos a fração pelo total de demais (N-12) para obter a quantidade.

Por que esta fórmula: A fração de um total é obtida multiplicando a fração pelo total.

N−122,2(N−12)7,3(N−12)14\frac{N-12}{2}, \frac{2(N-12)}{7}, \frac{3(N-12)}{14}

De onde vem cada valor: N−122\frac{N-12}{2} = passo 2: metade dos demais · 2(N−12)7\frac{2(N-12)}{7} = passo 2: dois sétimos dos demais · 3(N−12)14\frac{3(N-12)}{14} = passo 2: três quatorze avos dos demais

N−122,2(N−12)7,3(N−12)14\frac{N-12}{2}, \frac{2(N-12)}{7}, \frac{3(N-12)}{14}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das frações ou esquecer o parêntese.

Passo 4 — Verificar se as frações somam 1

As frações devem cobrir todos os demais funcionários; se a soma não for 1, os dados estão inconsistentes. Isso confirma que usamos as frações corretas.

Por que esta fórmula: A soma das frações de um todo deve ser igual a 1.

12+27+314=1\frac{1}{2} + \frac{2}{7} + \frac{3}{14} = 1

De onde vem cada valor: 12\frac{1}{2} = enunciado: metade · 27\frac{2}{7} = enunciado: dois sétimos · 314\frac{3}{14} = enunciado: três quatorze avos

714+414+314=1414=1=1\frac{7}{14} + \frac{4}{14} + \frac{3}{14} = \frac{14}{14} = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar e seguir com frações erradas.

Passo 5 — Montar a soma total dos salários

A média é a soma dos salários dividida pelo total. Precisamos expressar a soma em função de N para montar a equação.

Por que esta fórmula: Cada faixa contribui com (quantidade × salário). Somamos todas as contribuições.

S=5⋅10000+7⋅8000+N−122⋅6000+2(N−12)7⋅7000+3(N−12)14⋅4000S = 5 \cdot 10000 + 7 \cdot 8000 + \frac{N-12}{2} \cdot 6000 + \frac{2(N-12)}{7} \cdot 7000 + \frac{3(N-12)}{14} \cdot 4000

De onde vem cada valor: 5⋅100005 \cdot 10000 = enunciado: 5 funcionários recebem 10000 · 7⋅80007 \cdot 8000 = enunciado: 7 funcionários recebem 8000 · N−122⋅6000\frac{N-12}{2} \cdot 6000 = passo 3: metade dos demais recebe 6000 · 2(N−12)7⋅7000\frac{2(N-12)}{7} \cdot 7000 = passo 3: dois sétimos recebem 7000 · 3(N−12)14⋅4000\frac{3(N-12)}{14} \cdot 4000 = passo 3: três quatorze avos recebem 4000

S=5⋅10000+7⋅8000+N−122⋅6000+2(N−12)7⋅7000+3(N−12)14⋅4000S = 5 \cdot 10000 + 7 \cdot 8000 + \frac{N-12}{2} \cdot 6000 + \frac{2(N-12)}{7} \cdot 7000 + \frac{3(N-12)}{14} \cdot 4000
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a quantidade pelo salário.

Passo 6 — Simplificar os termos da soma

Para resolver a equação, precisamos juntar os termos que multiplicam (N-12) e os termos constantes.

Por que esta fórmula: Multiplicamos os coeficientes e somamos os termos semelhantes.

S=106000+(3000+2000+60007)(N−12)S = 106000 + \left(3000 + 2000 + \frac{6000}{7}\right)(N-12)

De onde vem cada valor: 106000106000 = passo 5: 50000 + 56000 · 30003000 = passo 5: 60002\frac{6000}{2} · 20002000 = passo 5: 2⋅70007\frac{2 \cdot 7000}{7} · 60007\frac{6000}{7} = passo 5: 3⋅400014\frac{3 \cdot 4000}{14}

S=106000+(3000+2000+60007)(N−12)S = 106000 + \left(3000 + 2000 + \frac{6000}{7}\right)(N-12)
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação das frações.

Passo 7 — Igualar a média à fórmula da média

A média dada (6750) é igual à soma dividida por N. Isso gera a equação que resolve o problema.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: xˉ\bar{x} = S/N.

106000+410007(N−12)N=6750\frac{106000 + \frac{41000}{7}(N-12)}{N} = 6750

De onde vem cada valor: 106000106000 = passo 6 · 410007\frac{41000}{7} = passo 6: 3000+2000+6000/7 = 41000/7 · NN = passo 1 · 67506750 = enunciado: média salarial

106000+410007(N−12)N=6750\frac{106000 + \frac{41000}{7}(N-12)}{N} = 6750
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração ou esquecer o denominador N.

Passo 8 — Resolver a equação para N

Agora temos uma equação linear em N. Multiplicamos por N e por 7 para eliminar denominadores e isolamos N.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por N e depois por 7 elimina as frações, permitindo isolar N.

742000+41000(N−12)=47250N742000 + 41000(N-12) = 47250N

De onde vem cada valor: 742000742000 = passo 7: 106000 × 7 · 4100041000 = passo 7: (41000/7) × 7 · 4725047250 = passo 7: 6750 × 7

742000+41000N−492000=47250N742000 + 41000N - 492000 = 47250N
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva ou a subtração.

Passo 9 — Isolar N e calcular

Após simplificar, isolamos N para obter o número total de funcionários.

Por que esta fórmula: Passamos os termos com N para um lado e os constantes para o outro.

250000=6250N250000 = 6250N

De onde vem cada valor: 250000250000 = passo 8: 742000 - 492000 · 62506250 = passo 8: 47250 - 41000

N=2500006250=40N = \frac{250000}{6250} = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado ou esquecer de dividir.

Resposta: 40 funcionários (alternativa A)

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