Estatística · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu110771

Transformação linear de variáveis: média e variância

Gabarito: letra B. Para que a série passe a ter média 75 e variância 180, cada observação deve ser multiplicada por $\frac{6}{7}$ e adicionada de 3. Isso decorre das propriedades da transformação linear $Y = aX + b$ : a média é transformada por $E(Y) = aE(X) + b$ e a variância por $Var(Y) = a^2 Var(X)$ — a constante aditiva não afeta a variância, e o fator multiplicativo entra ao quadrado.

A questão explora um conceito central da estatística descritiva: como medidas de posição e dispersão se comportam sob transformações lineares dos dados. Quando multiplicamos cada observação por uma constante $a$ e somamos uma constante $b$ , a média (e qualquer medida de posição) sofre a mesma transformação: $\bar{y} = a\bar{x} + b$ . Já a variância (e o desvio padrão) só é afetada pelo fator multiplicativo, e de forma quadrática: $s_y^2 = a^2 s_x^2$ . A constante $b$ não altera a dispersão, pois apenas desloca todos os valores.

Aqui, precisamos encontrar $a$ e $b$ tais que:

$a \cdot 84 + b = 75$
$a^2 \cdot 245 = 180$

Da segunda equação, tiramos $a^2 = \frac{180}{245} = \frac{36}{49}$ , logo $a = \frac{6}{7}$ (tomamos o valor positivo, pois a transformação deve preservar a ordem dos dados). Substituindo na primeira: $\frac{6}{7} \cdot 84 + b = 72 + b = 75$ , donde $b = 3$ .

Portanto, a transformação é $Y = \frac{6}{7}X + 3$ .

Caso	Atribuição (a, b)	Resultado
A	a = 13/14, b = −3	Variância ≈ 211 ≠ 180; média ≈ 75,86 ≠ 75 → Inviável
B	a = 6/7, b = 3	Variância = 180; média = 75 → Consistente
C	a = 6/7, b = 6	Variância = 180; média = 78 ≠ 75 → Inviável
D	a = 13/14, b = −5	Variância ≈ 211 ≠ 180; média ≈ 73 ≠ 75 → Inviável
E	a = 11/14, b = 9	Variância ≈ 151 ≠ 180; média ≈ 75 → Inviável

Alternativa A — ❌ Incorreta

Multiplicar por $\frac{13}{14}$ e diminuir 3. O fator $\frac{13}{14}$ ao quadrado dá $\frac{169}{196} \approx 0,862$ , que multiplicado por 245 resulta em aproximadamente 211, não 180. Além disso, a subtração de 3 não é compatível com a média desejada. O erro está em usar um fator incorreto e o sinal da constante.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Multiplicar por $\frac{6}{7}$ e adicionar 3. Como demonstrado, $a = \frac{6}{7}$ e $b = 3$ satisfazem exatamente as condições: $\frac{6}{7} \cdot 84 + 3 = 75$ e $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 245 = 180$ . É a única alternativa que atende simultaneamente às duas especificações.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Multiplicar por $\frac{6}{7}$ e adicionar 6. O fator está correto, mas a constante aditiva está errada: $\frac{6}{7} \cdot 84 + 6 = 78$ , não 75. A média resultante seria 78, fora da especificação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Multiplicar por $\frac{13}{14}$ e diminuir 5. O fator $\frac{13}{14}$ não produz a variância desejada (como visto na alternativa A), e a constante também não ajusta a média corretamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Multiplicar por $\frac{11}{14}$ e adicionar 9. O fator $\frac{11}{14}$ ao quadrado dá $\frac{121}{196} \approx 0,617$ , que multiplicado por 245 resulta em aproximadamente 151, não 180. A constante também não corrige a média para 75.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre multiplicar a variância pelo fator e multiplicar pelo quadrado do fator. Muitos candidatos calculam $a = \frac{180}{245}$ diretamente, esquecendo que a variância é proporcional a $a^2$ . Lembre-se: se $Y = aX + b$ , então $Var(Y) = a^2 Var(X)$ — o fator entra ao quadrado. Com isso, $a = \sqrt{\frac{180}{245}} = \frac{6}{7}$ .

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, monte o sistema com as duas equações: uma para a média e outra para a variância. Resolva primeiro a equação da variância para achar $a$ (lembrando de tirar a raiz quadrada) e depois substitua na equação da média para achar $b$ . Esse método funciona para qualquer questão de transformação linear de dados.

Gabarito: letra B.