Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 3.220,00 (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema trabalha com frações de uma quantidade e com o conceito de fração restante. Quando se gasta uma fração de um valor, o que sobra é o complemento: se gastou 1/3, sobrou 2/3; se gastou 5/8, sobrou 3/8. A ideia central é que o valor de R$ 345,00 é exatamente essa sobra, e é por ele que vamos 'voltar' até o total, usando operações inversas. A relação que governa é: se uma fração f de um total X vale V, então X = V ÷ f. Por exemplo, se 1/4 de um valor é 100, o valor total é 100 ÷ (1/4) = 400. Nesta questão, precisamos encadear várias dessas relações: primeiro descobrir a parte de gastos imediatos a partir da sobra, depois o total geral, depois a parte de aplicações, e finalmente o longo prazo.

O que a questão dá

• 3/5 do total destinados a gastos imediatos

• restante destinado a aplicações bancárias

• da parte de gastos imediatos: 1/3 para saúde/educação/transporte, 5/8 para casa/alimentação

• sobra da parte de gastos imediatos: R$ 345,00

• da parte de aplicações: 5/12 para curto prazo, restante para longo prazo

O que queremos: a quantia destinada ao investimento de longo prazo

Passo 1 — Calcular a fração gasta da parte imediata

Precisamos saber qual fração da parte de gastos imediatos foi gasta, para descobrir qual fração sobrou. Somar as frações gastas é o primeiro passo para relacionar a sobra de R$ 345,00 com o total dessa parte.

Por que esta fórmula: As frações gastas se referem à mesma parte (gastos imediatos), então podemos somá-las diretamente. Para somar frações com denominadores diferentes, precisamos de um denominador comum.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{3}$ = enunciado: 1/3 para saúde, educação e transporte · $\frac{5}{8}$ = enunciado: 5/8 para casa e alimentação

23/24 da parte imediata foi gasta

Passo 2 — Descobrir a fração que sobrou

A sobra de R$ 345,00 corresponde à fração que não foi gasta. Como já sabemos a fração gasta, o complemento (1 menos ela) é a fração que sobrou.

Por que esta fórmula: O total de uma parte é sempre 1 (ou 100%). Se gastou 23/24, o que sobrou é o que falta para completar 1.

De onde vem cada valor: $1$ = o total da parte de gastos imediatos · $\frac{23}{24}$ = passo 1: fração gasta

1/24 da parte imediata sobrou

Passo 3 — Calcular a parte de gastos imediatos

Sabemos que 1/24 da parte imediata vale R$ 345,00. Para achar o valor total dessa parte, usamos a relação: se uma fração de um valor é conhecida, o valor total é a divisão.

Por que esta fórmula: Se 1/24 de G é 345, então G é 345 dividido por 1/24, o que equivale a multiplicar por 24.

De onde vem cada valor: $345$ = enunciado: sobraram R$ 345,00 · $\frac{1}{24}$ = passo 2: fração que sobrou

$G$ = R$ 8.280,00

Passo 4 — Calcular o total da quantia

A parte de gastos imediatos é 3/5 do total. Com o valor dela em mãos, podemos achar o total geral.

Por que esta fórmula: Se 3/5 do total T é igual a G, então T = G ÷ (3/5), que é o mesmo que multiplicar por 5/3.

De onde vem cada valor: $G$ = passo 3: R$ 8.280,00 · $\frac{3}{5}$ = enunciado: 3/5 destinados a gastos imediatos

$T$ = R$ 13.800,00

Passo 5 — Calcular a parte de aplicações bancárias

A parte de aplicações é o restante do total, ou seja, o que não foi para gastos imediatos. Como o total é 1, a fração restante é 1 - 3/5 = 2/5.

Por que esta fórmula: Se 3/5 foi para gastos, o restante é 2/5 do total. Multiplicamos o total por essa fração.

De onde vem cada valor: $T$ = passo 4: R$ 13.800,00 · $\frac{2}{5}$ = enunciado: restante (1 - 3/5)

$A$ = R$ 5.520,00

Passo 6 — Calcular a fração para longo prazo

Dentro da parte de aplicações, 5/12 foram para curto prazo. O longo prazo é o restante, então precisamos do complemento.

Por que esta fórmula: Se 5/12 foi para curto prazo, o restante é 1 - 5/12 = 7/12.

De onde vem cada valor: $1$ = o total da parte de aplicações · $\frac{5}{12}$ = enunciado: 5/12 para curto prazo

Passo 7 — Calcular o valor do longo prazo

Agora temos a fração do longo prazo e o valor total da parte de aplicações. Multiplicamos para obter o valor final.

Por que esta fórmula: O valor de uma fração de um total é a multiplicação da fração pelo total.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 5: R$ 5.520,00 · $\frac{7}{12}$ = passo 6: fração para longo prazo

$L$ = R$ 3.220,00

Resposta: R$ 3.220,00 (alternativa A)