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Questão de Matemática — Polinômios — VUNESP 2025

MatemáticaPolinômios
Código
vu111015
Banca
VUNESP
Órgão
UEA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Sistema de Ingresso Seriado - 1ª Série do Ensino Médio - Prova de Acompanhamento I
Sejam f e g funções polinomiais do 2o grau tais que f(x) = x² + 2x e g(x) = - 3x² - 4x + 2. Seja m o menor valor assumido pela função f e seja n o maior valor assumido pela função g. A soma m + n é igual a:
  1. A-2
  2. B-1/3
  3. C2
  4. D5/3
  5. E7/3
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GabaritoE — 7/3

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 7/3 (alternativa E).

A ideia por trás

Toda função do 2º grau tem gráfico em forma de parábola. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é o vértice: se o coeficiente a é positivo, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo (valor mínimo); se a é negativo, abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto (valor máximo). A ordenada do vértice, que é esse valor extremo, pode ser calculada diretamente por y_v = -Δ/(4a), onde Δ = b² - 4ac. Nesta questão, precisamos achar o mínimo de f (que tem a > 0) e o máximo de g (que tem a < 0) e somá-los.

O que a questão dá

  • f(x) = x² + 2x

  • g(x) = -3x² - 4x + 2

O que queremos: a soma do valor mínimo de f com o valor máximo de g

Passo 1 — Calcular o discriminante de f

Para achar o valor mínimo de f, usamos a fórmula do vértice, que depende do discriminante Δ. O discriminante mede a 'abertura' da parábola e é essencial para o cálculo do valor extremo.

Por que esta fórmula: A fórmula do vértice y_v = -Δ/(4a) é a forma mais direta de obter o valor máximo ou mínimo sem calcular x_v. Precisamos de Δ primeiro.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = enunciado: f(x) = x² + 2x, então b = 2 · aa = enunciado: f(x) = x² + 2x, então a = 1 · cc = enunciado: f(x) = x² + 2x, então c = 0

Δ=22−4⋅1⋅0\Delta = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0
Δ=4\Delta = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que c = 0 e usar c = 2, o que daria Δ = -4 e inverteria o sinal do mínimo.

Passo 2 — Calcular o valor mínimo de f

Com o discriminante de f calculado, aplicamos a fórmula do vértice. Como a = 1 > 0, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, ou seja, o mínimo.

Por que esta fórmula: A ordenada do vértice y_v = -Δ/(4a) dá exatamente o valor extremo da função. É a fórmula mais rápida para achar o mínimo ou máximo.

m=−Δ4am = -\frac{\Delta}{4a}

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 1: Δ = 4 · aa = enunciado: f(x) = x² + 2x, então a = 1

m=−44⋅1m = -\frac{4}{4 \cdot 1}
m=−1m = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal: como a > 0, o valor é mínimo, mas o sinal de m vem da fórmula; aqui dá -1.

Passo 3 — Calcular o discriminante de g

Agora vamos para a função g, que tem a < 0, então seu vértice é um máximo. Precisamos do discriminante de g para usar a mesma fórmula do vértice.

Por que esta fórmula: A mesma fórmula Δ = b² - 4ac se aplica a qualquer função quadrática.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = enunciado: g(x) = -3x² - 4x + 2, então b = -4 · aa = enunciado: g(x) = -3x² - 4x + 2, então a = -3 · cc = enunciado: g(x) = -3x² - 4x + 2, então c = 2

Δ=(−4)2−4⋅(−3)⋅2\Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot (-3) \cdot 2
Δ=40\Delta = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao multiplicar -4 · (-3) · 2: alguns fazem -24 em vez de +24, resultando em Δ = -8.

Passo 4 — Calcular o valor máximo de g

Com o discriminante de g, aplicamos a fórmula do vértice. Como a = -3 < 0, a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto, ou seja, o máximo.

Por que esta fórmula: A mesma fórmula y_v = -Δ/(4a) serve para máximo ou mínimo; o sinal de a já determina qual é.

n=−Δ4an = -\frac{\Delta}{4a}

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 3: Δ = 40 · aa = enunciado: g(x) = -3x² - 4x + 2, então a = -3

n=−404⋅(−3)n = -\frac{40}{4 \cdot (-3)}
n=10 /3n = \boxed{10\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na frente da fração: -40/(-12) = 10/3, mas se esquecer o menos, daria -10/3.

Passo 5 — Somar os valores extremos

A questão pede a soma m + n. Temos m = -1 e n = 10/3; agora basta somar as frações.

Por que esta fórmula: Para somar um inteiro com uma fração, escrevemos o inteiro como fração com o mesmo denominador.

m+n=−1+103m + n = -1 + \frac{10}{3}

De onde vem cada valor: mm = passo 2: m = -1 · nn = passo 4: n = 10/3

m+n=−33+103=7 /3m + n = -\frac{3}{3} + \frac{10}{3} = \boxed{7\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: -1 + 10/3 = (-3+10)/3 = 7/3, mas alguns fazem -1 + 10/3 = 9/3 = 3.

Resposta: 7/3 (alternativa E)

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