Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu111072

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 135 cm (alternativa A).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de números: ela é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Por exemplo, se três pessoas têm alturas 160, 170 e 180 cm, a média é (160+170+180)/3 = 170 cm. Para problemas com médias, o truque é sempre transformar a média em soma: multiplicar a média pelo número de elementos para obter o total. A relação fundamental é M = S/n, onde M é a média, S é a soma e n é a quantidade. Se a média aumenta, a soma aumenta na mesma proporção; se um dos valores cresce, a média também cresce. Nesta questão, temos duas médias que se relacionam: a média dos três e a média dos dois filhos. A diferença entre as somas correspondentes nos dá a altura de Fábio. Depois, usamos o crescimento e a igualdade final para achar a altura de Henrique.

O que a questão dá

média das alturas de Fábio, Gustavo e Henrique no início de 2024 = 159 cm
média das alturas de Gustavo e Henrique no início de 2024 = 148,5 cm
crescimento de cada filho ao longo de 2024 = 9 cm
altura de Fábio permaneceu igual
no fim de 2024, Gustavo tinha a mesma altura de Fábio

O que queremos: a altura de Henrique no fim de 2024

Passo 1 — Transformar a média dos três em soma

Para trabalhar com médias, o primeiro passo é sempre converter a média em soma total, porque a soma é o que podemos manipular nas equações. A média é a soma dividida pelo número de elementos, então, para achar a soma, multiplicamos a média pela quantidade.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética é soma dividida pela quantidade. Para isolar a soma, multiplicamos ambos os lados por 3.

F + G + H = 3 \times 159

De onde vem cada valor: $F$ = altura de Fábio no início de 2024 (desconhecida) · $G$ = altura de Gustavo no início de 2024 (desconhecida) · $H$ = altura de Henrique no início de 2024 (desconhecida) · $3$ = quantidade de pessoas (Fábio, Gustavo e Henrique) · $159$ = enunciado: média das alturas dos três no início de 2024

F + G + H = 3 \times 159

F + G + H = \boxed{477\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a média pelo número de elementos, usando 159 como soma.

Passo 2 — Transformar a média dos dois filhos em soma

Precisamos da soma das alturas de Gustavo e Henrique para comparar com a soma dos três e achar a altura de Fábio. A média dos dois é dada, então aplicamos o mesmo princípio: multiplicar a média por 2.

Por que esta fórmula: A média de dois valores é a soma deles dividida por 2. Para obter a soma, multiplicamos a média por 2.

G + H = 2 \times 148{,}5

De onde vem cada valor: $G$ = altura de Gustavo no início de 2024 · $H$ = altura de Henrique no início de 2024 · $2$ = quantidade de filhos (Gustavo e Henrique) · $148{,}5$ = enunciado: média das alturas de Gustavo e Henrique no início de 2024

G + H = 2 \times 148{,}5

G + H = \boxed{297\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 148,5 como soma, sem multiplicar por 2.

Passo 3 — Calcular a altura inicial de Fábio

Com as duas somas, podemos achar a altura de Fábio: a soma dos três menos a soma dos dois filhos. Isso porque a soma dos três inclui Fábio, Gustavo e Henrique, e a soma dos dois inclui apenas os filhos.

Por que esta fórmula: A soma dos três é F + (G + H). Se subtrairmos (G + H), sobra F.

F = (F + G + H) - (G + H)

De onde vem cada valor: $F + G + H$ = passo 1: 477 cm · $G + H$ = passo 2: 297 cm

F = 477 - 297

F = \boxed{180\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada, ou usar as médias em vez das somas.

Passo 4 — Calcular a altura inicial de Gustavo

Sabemos que no fim de 2024 Gustavo ficou com a mesma altura de Fábio, que não mudou. Como cada filho cresceu 9 cm, a altura final de Gustavo é a inicial mais 9. Igualando isso a 180 cm, encontramos a altura inicial de Gustavo.

Por que esta fórmula: A altura final de Gustavo é G + 9, e essa é igual à altura de Fábio (180 cm). Então resolvemos a equação G + 9 = 180.

G + 9 = 180

De onde vem cada valor: $G$ = altura inicial de Gustavo (desconhecida) · $9$ = enunciado: crescimento de cada filho em 2024 · $180$ = passo 3: altura de Fábio

G + 9 = 180

G = \boxed{171\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 9 dos dois lados, ou usar a altura final de Gustavo como 180 e depois somar 9.

Passo 5 — Calcular a altura inicial de Henrique

Com a soma das alturas iniciais de Gustavo e Henrique (passo 2) e a altura inicial de Gustavo (passo 4), podemos achar a altura inicial de Henrique subtraindo.

Por que esta fórmula: Da soma G + H = 297, isolamos H subtraindo G dos dois lados.

H = (G + H) - G

De onde vem cada valor: $G + H$ = passo 2: 297 cm · $G$ = passo 4: 171 cm

H = 297 - 171

H = \boxed{126\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura final de Gustavo (180) em vez da inicial (171) na subtração.

Passo 6 — Calcular a altura final de Henrique

O problema pede a altura de Henrique no fim de 2024. Como ele cresceu 9 cm, somamos esse crescimento à altura inicial.

Por que esta fórmula: A altura final é a inicial mais o crescimento.

H_{final} = H + 9

De onde vem cada valor: $H$ = passo 5: 126 cm · $9$ = enunciado: crescimento de cada filho em 2024

H_{final} = 126 + 9

H_{final} = \boxed{135\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o crescimento, ou somar 9 à altura de Fábio.

Resposta: 135 cm (alternativa A)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Transformar a média dos três em soma

Passo 2 — Transformar a média dos dois filhos em soma

Passo 3 — Calcular a altura inicial de Fábio

Passo 4 — Calcular a altura inicial de Gustavo

Passo 5 — Calcular a altura inicial de Henrique

Passo 6 — Calcular a altura final de Henrique