Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 108 cm — alternativa E.

A ideia por trás

O perímetro de uma figura plana é a medida do seu contorno, ou seja, a soma de todos os lados. No retângulo, os lados opostos são iguais, então o perímetro é o dobro da soma de um lado com o outro. A diferença entre os lados é simplesmente a subtração do menor do maior, e é uma medida de comprimento, sempre positiva.

Para um retângulo de lados a e b, o perímetro é P = 2(a + b). Essa fórmula vem de somar os quatro lados: a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b). Se o perímetro é conhecido, podemos montar uma equação para descobrir o valor de x, que aparece nas expressões dos lados. Depois de achar x, substituímos nas expressões para obter as medidas reais e então calculamos a diferença.

Esta questão pede para usar a fórmula do perímetro para encontrar x, depois calcular os lados e a diferença. O passo crítico é não parar no valor de x, mas continuar até a diferença pedida.

O que a questão dá

• lado 1 = (26 + 18x) cm

• lado 2 = (142 - 10x) cm

• perímetro = 464 cm

• x é um número inteiro

O que queremos: a diferença entre o lado maior e o lado menor do retângulo

Passo 1 — Montar a equação do perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados. Como o retângulo tem dois lados de cada medida, o perímetro é 2 vezes a soma das duas expressões. Igualamos isso a 464 cm para começar a descobrir x.

Por que esta fórmula: A fórmula do perímetro do retângulo é P = 2(a + b), onde a e b são as medidas dos lados. Aqui, a = (26 + 18x) e b = (142 - 10x).

De onde vem cada valor: $26 + 18x$ = enunciado: lado 1 · $142 - 10x$ = enunciado: lado 2 · $464$ = enunciado: perímetro

Passo 2 — Simplificar a soma dentro dos parênteses

Para resolver a equação, primeiro juntamos os termos semelhantes: os números e os termos com x. Isso deixa a equação mais simples.

Por que esta fórmula: Somar expressões algébricas: somamos os coeficientes de x e as constantes separadamente.

De onde vem cada valor: $26$ = passo 1: lado 1 · $18x$ = passo 1: lado 1 · $142$ = passo 1: lado 2 · $-10x$ = passo 1: lado 2

Passo 3 — Substituir na equação do perímetro

Agora que a soma está simplificada, colocamos de volta na equação do perímetro para continuar resolvendo.

Por que esta fórmula: A equação original era 2 × (soma) = 464, e a soma é 168 + 8x.

De onde vem cada valor: $168 + 8x$ = passo 2 · $464$ = enunciado: perímetro

Passo 4 — Isolar o termo com x

Para achar x, precisamos deixá-lo sozinho de um lado da equação. Primeiro dividimos por 2 para simplificar, depois subtraímos 168.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 2 é o inverso da multiplicação por 2; subtrair 168 é o inverso da adição.

De onde vem cada valor: $168$ = passo 3 · $8x$ = passo 3 · $232$ = passo 3: 464 ÷ 2

Passo 5 — Calcular o valor de x

Com a equação simplificada, resolvemos para x: subtraímos 168 e dividimos por 8.

Por que esta fórmula: Subtrair 168 de ambos os lados isola o termo 8x; dividir por 8 isola x.

De onde vem cada valor: $8x$ = passo 4 · $64$ = passo 4: 232 - 168

Passo 6 — Calcular as medidas dos lados

Com x = 8, substituímos nas expressões para obter os comprimentos reais dos lados.

Por que esta fórmula: As expressões dos lados são funções de x; substituir x pelo valor encontrado dá as medidas.

De onde vem cada valor: $26 + 18x$ = enunciado: lado 1 · $142 - 10x$ = enunciado: lado 2 · $x$ = passo 5: 8

L_1 = 170 cm, L_2 = 62 cm

Passo 7 — Calcular a diferença entre os lados

A pergunta final é a diferença entre o lado maior e o menor. Como 170 > 62, subtraímos 62 de 170.

Por que esta fórmula: Diferença é subtração do menor do maior.

De onde vem cada valor: $170$ = passo 6: lado 1 · $62$ = passo 6: lado 2

Resposta: 108 cm — alternativa E