Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2025
Matemática›Probabilidade
Código
vu111136
Banca
VUNESP
Órgão
UEA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Sistema de Ingresso Seriado - 3ª Série do Ensino Médio - Prova de Acompanhamento III
Um jogo é disputado por 2 pessoas e começa com a preparação de uma urna contendo 82 bolas numeradas de 1 a 82. Em seguida, cada jogador pega, aleatoriamente e sem reposição, uma bola da urna. Finalmente, uma terceira bola é retirada aleatoriamente da urna. Um jogador é declarado vencedor caso a diferença entre o número da bola que ele retirou e o número da terceira bola seja menor do que a diferença entre o número da bola que o adversário retirou e o número da terceira bola. Nesse jogo, a diferença é sempre entendida como o resultado de um número maior subtraído de um número menor e, caso essa diferença seja igual, o jogo termina em empate. Por exemplo, se o primeiro a pegar uma bola retirar o número 10, o segundo retirar o número 15 e a terceira bola tiver o número 12, o primeiro jogador ganha, pois (12 - 10) < (15 - 12).Em uma partida desse jogo, Paulo retirou a bola número 16, César retirou a bola número 60 e a terceira bola será retirada agora. A probabilidade de Paulo vencer o jogo é:
A1/5
B2/5
C9/20
D11/20
E19/40
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GabaritoC — 9/20
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 37/80 (≈ 0,4625), que não está entre as alternativas; a mais próxima é a letra C (9/20), mas o valor exato é 37/80..
A ideia por trás
A probabilidade clássica mede a chance de um evento como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis, todos igualmente prováveis. Aqui, o evento 'Paulo vencer' depende de onde cair a terceira bola: ela precisa estar mais próxima do número 16 do que do número 60. A distância entre dois números na reta numérica é o valor absoluto da diferença, e a condição |x-16| < |x-60| define uma região de valores de x. O ponto médio entre 16 e 60 é 38; para x menor que 38, a distância a 16 é menor, garantindo a vitória de Paulo. Nesta questão, precisamos contar quantos números inteiros de 1 a 82 satisfazem essa condição, lembrando que as bolas 16 e 60 já foram retiradas, e dividir pelo total de bolas restantes na urna.
O que a questão dá
Paulo retirou a bola 16
César retirou a bola 60
urna com 82 bolas numeradas de 1 a 82
duas bolas já retiradas, sem reposição
O que queremos: a probabilidade de Paulo vencer o jogo
Passo 1 — Traduzir a condição de vitória em desigualdade
Para saber quando Paulo vence, precisamos comparar as distâncias da terceira bola (número x) até 16 e até 60. A distância entre dois números é o valor absoluto da diferença, então a condição é que a distância até 16 seja menor que a distância até 60.
Por que esta fórmula: A distância entre dois números a e b na reta numérica é |a-b|. Como a diferença é sempre o maior menos o menor, isso é exatamente a distância. Usamos a desigualdade |x-16| < |x-60| para expressar 'mais próximo de 16 do que de 60'.
De onde vem cada valor: = enunciado: número da terceira bola (inteiro de 1 a 82) · = enunciado: bola de Paulo · = enunciado: bola de César
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a diferença é sempre o maior menos o menor, mas isso é equivalente ao valor absoluto, então a desigualdade com módulo está correta.
Passo 2 — Encontrar o ponto médio entre 16 e 60
A desigualdade |x-16| < |x-60| divide a reta numérica em duas regiões: os pontos mais próximos de 16 e os mais próximos de 60. O ponto de equilíbrio é o ponto médio entre os dois números; para x menor que esse ponto, a distância a 16 é menor.
Por que esta fórmula: O ponto médio entre dois números a e b é (a+b)/2. Ele é o valor em que as distâncias são iguais, então a condição de vitória é x < ponto médio.
De onde vem cada valor: = enunciado: bola de Paulo · = enunciado: bola de César
NÃO CAIA NESSA!
Calcular a média errada, como (60-16)/2 = 22, o que daria uma condição incorreta.
Passo 3 — Determinar os valores de x que favorecem Paulo
Com o ponto médio em 38, sabemos que Paulo vence se x < 38. Como x é um inteiro de 1 a 82, os valores possíveis são 1, 2, ..., 37. Precisamos contar quantos são, lembrando que 16 e 60 já foram retirados, mas 16 < 38 e 60 > 38, então eles não estão na faixa favorável.
Por que esta fórmula: A contagem de inteiros consecutivos de 1 a 37 é simplesmente 37 - 1 + 1 = 37. Não há fórmula complexa; é uma contagem direta.
NÃO CAIA NESSA!
Incluir o 38, mas em x=38 as distâncias são iguais, resultando em empate, não vitória.
Passo 4 — Calcular o total de bolas restantes na urna
A probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. O total de casos possíveis para a terceira bola é o número de bolas que ainda estão na urna, que é 82 menos as duas já retiradas.
Por que esta fórmula: Como as retiradas são sem reposição, cada bola retirada reduz o total. Portanto, o espaço amostral é 82 - 2 = 80.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de bolas na urna · = enunciado: bolas retiradas por Paulo e César
NÃO CAIA NESSA!
Usar 82 como total, esquecendo que duas bolas já saíram.
Passo 5 — Calcular a probabilidade de Paulo vencer
Agora temos os casos favoráveis (37) e o total de casos possíveis (80). A probabilidade é a razão entre eles, pois cada bola restante tem a mesma chance de ser sorteada.
Por que esta fórmula: A probabilidade clássica é P = (casos favoráveis)/(casos possíveis). Aqui, os casos favoráveis são os 37 números que satisfazem a condição, e os casos possíveis são as 80 bolas restantes.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Confundir com 9/20, que é 0,45, mas o valor exato é 37/80.
Resposta: 37/80 (≈ 0,4625), que não está entre as alternativas; a mais próxima é a letra C (9/20), mas o valor exato é 37/80.