Questão de Matemática — Pontos e Retas — VUNESP 2025

Reflexão de figuras em relação a retas

Gabarito: letra A. A composição de duas reflexões em relação a retas concorrentes (r e s) equivale a uma rotação de ângulo igual ao dobro do ângulo entre as retas, no sentido que vai de r para s. A imagem final F'' é obtida refletindo F primeiro em r e depois em s, e a alternativa A é a única que representa corretamente essa transformação.

O que é uma reflexão em relação a uma reta

Uma reflexão em relação a uma reta (também chamada de simetria axial) é uma transformação geométrica que "espelha" cada ponto da figura em relação a essa reta, chamada de eixo de simetria. Para cada ponto P da figura original, o ponto refletido P' é tal que a reta é a mediatriz do segmento PP'. Em outras palavras, a reta é perpendicular ao segmento que liga P a P' e passa pelo ponto médio desse segmento. Isso significa que a distância de P até a reta é igual à distância de P' até a reta, mas em lados opostos.

Composição de duas reflexões

Quando aplicamos duas reflexões em sequência, o resultado depende da posição relativa entre os dois eixos de reflexão:

• Se as retas são paralelas: a composição de duas reflexões equivale a uma translação (um deslocamento) da figura, na direção perpendicular às retas, com distância igual ao dobro da distância entre elas.

• Se as retas são concorrentes (se cruzam em um ponto): a composição de duas reflexões equivale a uma rotação da figura em torno do ponto de interseção das retas, com ângulo igual ao dobro do ângulo formado entre elas. O sentido da rotação é o sentido que vai da primeira reta (r) para a segunda reta (s).

No caso da questão, as retas r e s são concorrentes (se cruzam). Portanto, a figura F, após ser refletida em r e depois em s, sofre uma rotação. O ângulo de rotação é o dobro do ângulo entre r e s. Se o ângulo entre as retas for, por exemplo, 45°, a rotação será de 90°. Se for 30°, a rotação será de 60°.

Como identificar a alternativa correta

Para resolver a questão, é preciso observar a figura original F e as retas r e s no plano. A alternativa correta será aquela em que a figura F'' está rotacionada em relação à figura original, com o centro de rotação no ponto de interseção das retas, e com o ângulo de rotação igual ao dobro do ângulo entre r e s, no sentido de r para s.

A alternativa A é a única que apresenta essa rotação correta. As demais alternativas apresentam erros como:

• Reflexão apenas em relação a uma das retas (não aplica a segunda reflexão).

• Translação da figura (como se as retas fossem paralelas).

• Rotação com ângulo ou sentido incorretos.

• Reflexão em relação a uma reta diferente das indicadas.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre os dois casos de composição de reflexões: retas paralelas (que geram translação) e retas concorrentes (que geram rotação). Muitos candidatos, ao verem duas reflexões, pensam imediatamente em translação, mas a presença de retas que se cruzam muda completamente o resultado. Além disso, é comum errar o sentido da rotação ou o ângulo (que é o dobro do ângulo entre as retas, não o ângulo em si).

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A representa corretamente a imagem final F''. A figura original F foi refletida em relação à reta r, gerando F', e depois F' foi refletida em relação à reta s, gerando F''. O resultado é uma rotação da figura original em torno do ponto de interseção das retas r e s, com ângulo igual ao dobro do ângulo entre elas, no sentido de r para s. A posição, a orientação e a forma da figura estão de acordo com essa transformação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta a figura F'' como se fosse apenas uma reflexão em relação à reta r, sem aplicar a segunda reflexão em relação à reta s. O resultado é uma figura espelhada apenas uma vez, o que não corresponde à composição de duas reflexões em retas concorrentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta a figura F'' como se fosse uma translação da figura original. Isso ocorreria se as retas r e s fossem paralelas, mas, como elas são concorrentes, o resultado correto é uma rotação, não uma translação. A figura está deslocada, mas não rotacionada, o que a torna incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta a figura F'' com uma rotação de ângulo incorreto. O ângulo de rotação deve ser o dobro do ângulo entre as retas r e s, mas a figura está rotacionada com um ângulo diferente, o que indica que a composição das reflexões foi feita de forma errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta a figura F'' com uma rotação no sentido contrário ao correto. A rotação deve ser no sentido que vai da reta r para a reta s, mas a figura está rotacionada no sentido oposto, o que a torna incorreta.

Gabarito: letra A