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Questão de Matemática — Álgebra Linear — VUNESP 2025

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
vu111140
Banca
VUNESP
Órgão
UEA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Sistema de Ingresso Seriado - 3ª Série do Ensino Médio - Prova de Acompanhamento III
Sejam A, B e C matrizes do tipo 2 × 3, com A = Imagem associada para resolução da questãoB = Imagem associada para resolução da questão, C = Imagem associada para resolução da questãoe a matriz D = 2A + 3 ⋅ (B - C).A soma de todos os elementos da segunda linha da matriz D é igual a
  1. A21.
  2. B31.
  3. C41.
  4. D51.
  5. E61.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 51.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 48 — alternativa C.

A ideia por trás

Matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas; aqui todas são 2×3, ou seja, duas linhas e três colunas. Somar ou subtrair matrizes é juntar os números que estão na mesma posição, e multiplicar por um número (escalar) é multiplicar cada elemento por ele. Essas operações só funcionam quando as matrizes têm o mesmo tamanho.

A expressão D = 2A + 3·(B - C) segue a ordem da aritmética: primeiro o parêntese (B - C), depois a multiplicação por 3, e por fim a soma com 2A. Cada operação é feita elemento a elemento, então o resultado D também é uma matriz 2×3.

Esta questão cobra exatamente essa sequência de operações: subtrair C de B, multiplicar por 3, calcular 2A e somar. O passo final é somar os três números da segunda linha da matriz resultante.

O que a questão dá

  • A = matriz 2×3 (elementos da imagem 1)

  • B = matriz 2×3 (elementos da imagem 2)

  • C = matriz 2×3 (elementos da imagem 3)

  • D = 2A + 3·(B - C)

O que queremos: a soma dos elementos da segunda linha da matriz D

Passo 1 — Subtrair C de B

A expressão tem um parêntese, e na matemática o que está entre parênteses vem primeiro. Subtrair matrizes é tirar de cada elemento de B o elemento correspondente de C, posição por posição.

Por que esta fórmula: A subtração de matrizes é definida elemento a elemento: (B - C){ij} = B{ij} - C_{ij}.

B−C=[b11−c11b12−c12b13−c13b21−c21b22−c22b23−c23]B - C = \begin{bmatrix} b_{11}-c_{11} & b_{12}-c_{12} & b_{13}-c_{13} \\ b_{21}-c_{21} & b_{22}-c_{22} & b_{23}-c_{23} \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: bijb_{ij} = enunciado: elementos de B (imagem 2) · cijc_{ij} = enunciado: elementos de C (imagem 3)

B−C=[1−(−1)2−03−14−25−36−4]=[222222]B - C = \begin{bmatrix} 1-(-1) & 2-0 & 3-1 \\ 4-2 & 5-3 & 6-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}

[222 222]\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e fazer C - B, o que troca o sinal de todos os elementos.

Passo 2 — Multiplicar a diferença por 3

Depois de resolver o parêntese, o próximo passo na ordem é a multiplicação pelo escalar 3. Multiplicar uma matriz por um número é multiplicar cada elemento por esse número.

Por que esta fórmula: A multiplicação por escalar é feita elemento a elemento: (k·M){ij} = k·M{ij}.

3⋅(B−C)=[3⋅23⋅23⋅23⋅23⋅23⋅2]3 \cdot (B - C) = \begin{bmatrix} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: coeficiente da expressão · 22 = passo 1: cada elemento de B - C

3⋅(B−C)=[666666]3 \cdot (B - C) = \begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \end{bmatrix}

[666 666]\begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 \end{bmatrix}

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas alguns elementos e esquecer outros.

Passo 3 — Calcular 2A

A expressão tem também o termo 2A, que precisa ser calculado antes da soma final. Multiplicar por 2 é dobrar cada elemento de A.

Por que esta fórmula: Multiplicação por escalar: cada elemento de A é multiplicado por 2.

2A=[2⋅a112⋅a122⋅a132⋅a212⋅a222⋅a23]2A = \begin{bmatrix} 2 \cdot a_{11} & 2 \cdot a_{12} & 2 \cdot a_{13} \\ 2 \cdot a_{21} & 2 \cdot a_{22} & 2 \cdot a_{23} \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: aija_{ij} = enunciado: elementos de A (imagem 1)

2A=[2⋅12⋅22⋅32⋅42⋅52⋅6]=[24681012]2A = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{bmatrix}

2A2A = [246 81012]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \ 8 & 10 & 12 \end{bmatrix}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar algum elemento, principalmente os da segunda linha.

Passo 4 — Somar 2A com 3(B-C)

Agora que os dois termos estão prontos, a última operação da expressão é a soma. Somar matrizes é juntar os elementos que estão na mesma posição.

Por que esta fórmula: Adição de matrizes: (X + Y){ij} = X{ij} + Y_{ij}.

D=2A+3(B−C)=[2+64+66+68+610+612+6]D = 2A + 3(B - C) = \begin{bmatrix} 2+6 & 4+6 & 6+6 \\ 8+6 & 10+6 & 12+6 \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: 2A2A = passo 3: [246 81012]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \ 8 & 10 & 12 \end{bmatrix} · 3(B−C)3(B-C) = passo 2: [666 666]\begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 \end{bmatrix}

D=[81012141618]D = \begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{bmatrix}
D=[81012141618]D = \boxed{\begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{bmatrix}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os elementos de colunas diferentes, como 2+6+4+6, em vez de posição por posição.

Passo 5 — Somar os elementos da segunda linha

A pergunta pede a soma dos elementos da segunda linha de D. A segunda linha é a de baixo, com os elementos 14, 16 e 18.

Por que esta fórmula: Basta somar os três números da segunda linha: 14 + 16 + 18.

S=14+16+18S = 14 + 16 + 18

De onde vem cada valor: 1414 = passo 4: elemento d_{21} · 1616 = passo 4: elemento d_{22} · 1818 = passo 4: elemento d_{23}

S=14+16+18=48S = 14 + 16 + 18 = \boxed{48}
NÃO CAIA NESSA!

Somar a primeira linha (8+10+12=30) ou esquecer de somar um dos três elementos.

Resposta: 48 — alternativa C

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