Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
vu111146
Banca
VUNESP
Órgão
UEA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Sistema de Ingresso Seriado - 3ª Série do Ensino Médio - Prova de Acompanhamento III
Uma loja possui 3 manequins, dois representando adultos, sendo um maior do que o outro, e um representando uma criança. Esses manequins sempre ficam lado a lado e na mesma posição. A loja recebeu uma nova coleção de roupas de inverno, com 4 modelos de roupas destinados a crianças e 7 modelos de roupas destinados a adultos, dispondo de várias unidades de cada modelo, cada modelo tendo tamanho único. O número de maneiras distintas de vestir esses manequins com os modelos de roupas da nova coleção de inverno, de acordo com a destinação de cada modelo, é igual a
A18.
B46.
C84.
D168.
E196.
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GabaritoE — 196.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 196 maneiras (alternativa E).
A ideia por trás
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a base da análise combinatória: quando uma escolha é feita em etapas sucessivas e independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Por exemplo, se você tem 3 camisas e 2 calças, há 3 × 2 = 6 combinações possíveis. Nesta questão, cada manequim é uma etapa independente: escolher a roupa do adulto maior, escolher a roupa do adulto menor e escolher a roupa da criança. Como os manequins adultos são distintos (um é maior que o outro), cada um tem 7 opções, e a criança tem 4 opções. O total é o produto 7 × 7 × 4 = 196. A pegadinha é não tratar os dois adultos como iguais, o que levaria a um cálculo errado.
O que a questão dá
3 manequins: 2 adultos (um maior que o outro) e 1 criança
4 modelos de roupas infantis
7 modelos de roupas para adultos
O que queremos: o número de maneiras distintas de vestir os manequins
Passo 1 — Identificar as etapas independentes
Antes de contar, precisamos reconhecer que cada manequim é uma escolha separada: a roupa do adulto maior, a do adulto menor e a da criança. Como as escolhas não interferem umas nas outras, podemos multiplicar as possibilidades.
NÃO CAIA NESSA!
Tratar os dois manequins adultos como se fossem iguais, o que reduziria as opções.
Passo 2 — Contar as opções para cada manequim
Cada manequim adulto pode receber qualquer um dos 7 modelos adultos, e o manequim infantil pode receber qualquer um dos 4 modelos infantis. Como os adultos são distintos, cada um tem 7 opções independentes.
NÃO CAIA NESSA!
Usar 4 opções para os adultos ou 7 para a criança, invertendo os números.
Passo 3 — Multiplicar as possibilidades
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, quando as escolhas são independentes, o total é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui temos três etapas: adulto maior (7), adulto menor (7) e criança (4).
Por que esta fórmula: Esta é a fórmula do PFC: se há n1 maneiras de fazer a primeira escolha, n2 para a segunda, e assim por diante, o total é n1 × n2 × ... . Não é soma, porque as escolhas são simultâneas e independentes.
De onde vem cada valor: = enunciado: 7 modelos para adultos (manequim maior) · = enunciado: 7 modelos para adultos (manequim menor) · = enunciado: 4 modelos para crianças