GabaritoC — 29,5.
Gabarito: letra C — a conta chega a 29,5 (alternativa C).
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão) ao anterior. Ela modela situações de crescimento ou decréscimo uniforme, como parcelas de um financiamento ou a contagem regressiva de um foguete. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição. Se a razão aumenta, os termos crescem mais rápido; se diminui, crescem mais devagar. Nesta questão, a sequência não é uma PA única, mas duas PAs intercaladas: uma nas posições ímpares e outra nas pares. A 'pegadinha' é perceber isso e tratar cada uma separadamente, usando a fórmula do termo geral para cada uma.
sequência: 5; 2,5; 8; 4; 11; 5,5; 14; 7; 17; 8,5; 20, ...
posições: 41º e 46º
O que queremos: a diferença entre o 41º e o 46º elementos
A sequência alterna dois padrões: os termos de posição ímpar (1º, 3º, 5º...) formam uma PA, e os de posição par (2º, 4º, 6º...) formam outra. Para calcular termos distantes como o 41º e o 46º, precisamos tratar cada uma separadamente, pois cada uma tem sua própria razão.
Tentar achar uma razão única para toda a sequência, como 2,5 ou 3, e aplicar diretamente — isso não funciona porque os padrões são intercalados.
O 41º termo está em uma posição ímpar. Para usar a fórmula do termo geral, precisamos saber qual é a posição dele dentro da sequência ímpar. Como os ímpares são 1, 3, 5, ..., a posição k do termo de posição original n é dada por k = (n+1)/2.
Por que esta fórmula: A fórmula k = (n+1)/2 converte a posição original (n) na posição dentro da sub-sequência ímpar. Por exemplo, o 1º termo original é o 1º da ímpar, o 3º é o 2º, etc.
De onde vem cada valor: = enunciado: 41
Usar k = n/2, que serve para pares, mas para ímpares dá errado (daria 20,5).
Com a posição k = 21 na sequência ímpar, aplicamos a fórmula do termo geral da PA ímpar, que tem primeiro termo 5 e razão 3. Isso nos dá o valor do 41º elemento.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r. Aqui usamos a posição k na sub-sequência, não a posição original.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo da sequência ímpar = 5 · = passo 2: 21 · = enunciado: razão da sequência ímpar = 3
Usar n = 41 diretamente na fórmula, esquecendo de converter para k = 21 — daria 125.
O 46º termo está em uma posição par. Para usar a fórmula do termo geral, precisamos saber a posição dele dentro da sequência par. Como os pares são 2, 4, 6, ..., a posição k é dada por k = n/2.
Por que esta fórmula: A fórmula k = n/2 converte a posição original (n) na posição dentro da sub-sequência par. Por exemplo, o 2º termo original é o 1º da par, o 4º é o 2º, etc.
De onde vem cada valor: = enunciado: 46
Usar k = (n+1)/2, que serve para ímpares, mas para pares dá errado (daria 23,5).
Com a posição k = 23 na sequência par, aplicamos a fórmula do termo geral da PA par, que tem primeiro termo 2,5 e razão 1,5. Isso nos dá o valor do 46º elemento.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r. Aqui usamos a posição k na sub-sequência, não a posição original.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo da sequência par = 2,5 · = passo 4: 23 · = enunciado: razão da sequência par = 1,5
Usar n = 46 diretamente na fórmula, esquecendo de converter para k = 23 — daria 70.
A questão pede a diferença entre o 41º e o 46º elementos. Como já temos os valores, basta subtrair o menor do maior.
Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente a subtração: a_{41} - a_{46}.
De onde vem cada valor: = passo 3: 65 · = passo 5: 35,5
Subtrair na ordem errada (35,5 - 65 = -29,5) — a diferença é sempre positiva, então use o maior menos o menor.
Resposta: 29,5 (alternativa C)
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