Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Geometria Plana: Cálculo de Área de Polígono Composto

Gabarito: letra E. A área total do terreno é de 558 m², obtida pela soma das áreas do triângulo retângulo $\triangle ADE$ e do triângulo retângulo $\triangle ABC$, considerando a decomposição da figura conforme os dados fornecidos.

Para resolver, observe que a figura é composta por dois triângulos retângulos que compartilham o segmento vertical $CD$. Temos as medidas: $AB = 65\,\text{m}$, $CD = 7\,\text{m}$, $DE = 12\,\text{m}$ e $AE = 15\,\text{m}$.

1. Área do triângulo $\triangle ADE$

Este é um triângulo retângulo em $D$. Conhecemos a hipotenusa $AE = 15\,\text{m}$ e um cateto $DE = 12\,\text{m}$. Pelo Teorema de Pitágoras ($AD^2 + DE^2 = AE^2$):

$AD^2 + 12^2 = 15^2$ $AD^2 + 144 = 225$ $AD^2 = 81 \implies AD = 9\,\text{m}$

A área do $\triangle ADE$ é $\frac{AD \times DE}{2} = \frac{9 \times 12}{2} = 54\,\text{m}^2$.

2. Área do triângulo $\triangle ABC$

Este é um triângulo retângulo em $C$. A altura total do segmento vertical é $AC = AD + CD = 9 + 7 = 16\,\text{m}$. Conhecemos a hipotenusa $AB = 65\,\text{m}$ e o cateto $AC = 16\,\text{m}$. Pelo Teorema de Pitágoras ($AC^2 + BC^2 = AB^2$):

$16^2 + BC^2 = 65^2$ $256 + BC^2 = 4225$ $BC^2 = 3969 \implies BC = \sqrt{3969} = 63\,\text{m}$

A área do $\triangle ABC$ é $\frac{AC \times BC}{2} = \frac{16 \times 63}{2} = 8 \times 63 = 504\,\text{m}^2$.

3. Área total

Somando as áreas: $54 + 504 = 558\,\text{m}^2$.

Gabarito: letra E.