Uma loja de revenda de veículos oferece um prêmio para o campeão de vendas do mês. Na cerimônia de divulgação, o gerente propôs um problema cuja solução mostraria o vencedor. O gerente falou que o total de vendas do Aldo e da Deise foi 25; o total de vendas da Cleide e do Ernesto foi 28; o total de vendas do Bruno e da Deise foi 23; o total de vendas do Aldo e do Ernesto foi 27, e o total de vendas do Bruno e da Cleide foi 27.O campeão de vendas desse mês foi
Ao Aldo.
Bo Bruno.
Ca Cleide.
Da Deise.
Eo Ernesto.
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GabaritoC — a Cleide.
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Sistema de equações lineares: vendas dos vendedores
Gabarito: letra C — a Cleide é a campeã de vendas, com 16 vendas. Resolvendo o sistema linear formado pelas cinco somas de pares de vendedores, encontramos os valores individuais: Aldo = 14, Bruno = 12, Cleide = 16, Deise = 11 e Ernesto = 13. A Cleide tem o maior total individual.
O problema apresenta cinco equações com cinco incógnitas (as vendas de cada vendedor). A estratégia clássica é somar todas as equações: cada vendedor aparece exatamente duas vezes, então a soma total é o dobro da soma das vendas de todos. Com isso, encontramos o total geral e, por subtrações sucessivas, isolamos cada valor individual.
Vamos montar o sistema. Sejam A, B, C, D e E as vendas de Aldo, Bruno, Cleide, Deise e Ernesto, respectivamente:
A + D = 25
C + E = 28
B + D = 23
A + E = 27
B + C = 27
Somando todas as equações: (A + D) + (C + E) + (B + D) + (A + E) + (B + C) = 25 + 28 + 23 + 27 + 27 = 130. Isso dá 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 130, ou seja, A + B + C + D + E = 65.
Agora, para achar o valor de cada um, subtraímos as somas de pares do total. Por exemplo, para achar A, subtraímos as equações que não contêm A: (B + D) + (C + E) = 23 + 28 = 51. Então A = 65 − 51 = 14. Repetindo o processo:
B = 65 − (A + D) − (C + E) = 65 − 25 − 28 = 12
C = 65 − (A + D) − (B + E) — mas não temos B + E diretamente. Melhor: C = 65 − (A + D) − (B + E). Precisamos de B + E. Temos B + D = 23 e A + E = 27, então (B + D) + (A + E) = 50, logo B + A + D + E = 50. Como A + D = 25, temos B + E = 50 − 25 = 25. Então C = 65 − 25 − 25 = 15? Não, vamos refazer com cuidado.
Na verdade, o método mais direto é: para cada vendedor, some as duas equações em que ele aparece e subtraia a equação que contém os outros dois. Por exemplo, Aldo aparece em A + D = 25 e A + E = 27. Somando: 2A + D + E = 52. Subtraindo a equação que não tem A, que é B + C = 27, não ajuda diretamente. O caminho mais limpo é o que já fizemos: achar o total e subtrair as somas dos pares que não incluem o vendedor.
Vamos listar as somas de pares que não incluem cada vendedor:
Para A: pares sem A são (B + D) = 23 e (C + E) = 28. Soma = 51. A = 65 − 51 = 14.
Para B: pares sem B são (A + D) = 25 e (C + E) = 28. Soma = 53. B = 65 − 53 = 12.
Para C: pares sem C são (A + D) = 25 e (B + E). Precisamos de B + E. Temos (B + D) + (A + E) = 23 + 27 = 50, e como A + D = 25, então B + E = 50 − 25 = 25. Soma dos pares sem C = 25 + 25 = 50. C = 65 − 50 = 15.
Para D: pares sem D são (A + E) = 27 e (B + C) = 27. Soma = 54. D = 65 − 54 = 11.
Para E: pares sem E são (A + D) = 25 e (B + C) = 27. Soma = 52. E = 65 − 52 = 13.
Conferindo: A = 14, B = 12, C = 15, D = 11, E = 13. A soma é 14 + 12 + 15 + 11 + 13 = 65. Verificando as equações: A + D = 14 + 11 = 25 ✓; C + E = 15 + 13 = 28 ✓; B + D = 12 + 11 = 23 ✓; A + E = 14 + 13 = 27 ✓; B + C = 12 + 15 = 27 ✓. O maior valor individual é o da Cleide, com 15 vendas.
1Somam todas as equações
2Total geral = 65
3Subtrai pares sem o vendedor
4Isola cada valor individual
5Maior valor = campeão
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Vendedor
Equações em que aparece
Soma dos pares sem o vendedor
Vendas individuais
Aldo (A)
A+D=25; A+E=27
(B+D)+(C+E) = 23+28 = 51
65 − 51 = 14
Bruno (B)
B+D=23; B+C=27
(A+D)+(C+E) = 25+28 = 53
65 − 53 = 12
Cleide (C)
C+E=28; B+C=27
(A+D)+(B+E) = 25+25 = 50
65 − 50 = 15
Deise (D)
A+D=25; B+D=23
(A+E)+(B+C) = 27+27 = 54
65 − 54 = 11
Ernesto (E)
C+E=28; A+E=27
(A+D)+(B+C) = 25+27 = 52
65 − 52 = 13
Alternativa A — ❌ Incorreta
O Aldo tem 14 vendas, que é o segundo maior valor, mas não o maior. A banca pode tentar confundir o candidato que encontra o total geral (65) e para por aí, sem calcular os individuais.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O Bruno tem 12 vendas, um valor intermediário. Não é o campeão.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A Cleide tem 15 vendas, o maior valor individual entre os cinco vendedores. É a campeã de vendas do mês.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A Deise tem 11 vendas, o menor valor individual. Está longe de ser a campeã.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O Ernesto tem 13 vendas, um valor intermediário. Não é o campeão.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a pressa: o candidato pode somar todas as equações, achar o total 65 e achar que já resolveu. Mas o total geral não indica quem vendeu mais — é preciso subtrair as somas dos pares para isolar cada vendedor. Outra armadilha é inverter os valores: por exemplo, trocar a Cleide (15) pelo Aldo (14), que são os dois maiores e fáceis de confundir se você não conferir as contas.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas com somas de pares, o atalho é sempre o mesmo: some todas as equações (cada incógnita aparece duas vezes) para achar o total geral. Depois, para cada vendedor, subtraia do total as somas dos pares que não o incluem. Monte uma tabela com os valores individuais e compare — o maior é o campeão.