Questão de Matemática Financeira — Progressão Geométrica — VUNESP 2025

Progressão Geométrica e Aumentos Percentuais

Gabarito: letra D (R$ 192,30). O valor da cota caiu de R$ 4.200 para R$ 3.000 e, a partir desse patamar, passou a subir 10% ao mês (fator 1,1). A questão pede o excesso sobre R$ 4.200 no mês em que o valor ultrapassa esse limite. Calculando os montantes mês a mês, verifica-se que após 4 meses o valor atinge R$ 4.392,30, superando R$ 4.200 em R$ 192,30.

O aumento de 10% ao mês configura uma progressão geométrica de razão $q = 1,1$, com termo inicial $a_0 = 3.000$ (mês zero). O valor após $n$ meses é $V_n = 3000 \times (1,1)^n$. Queremos o menor $n$ tal que $V_n > 4.200$:

Testando valores:

• $n=3$: $1,1^3 = 1,331$ → $3000 \times 1,331 = 3.993$ (abaixo)

• $n=4$: $1,1^4 = 1,4641$ → $3000 \times 1,4641 = 4.392,30$ (acima)

Portanto, após 4 meses o valor ultrapassa R$ 4.200. O excesso é:

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta. R$ 300,00 corresponderia a um excesso de 10% sobre R$ 3.000 (R$ 300), o que não se aplica.

Alternativa B — ❌ Incorreta. R$ 284,40 poderia surgir de um cálculo com $1,1^3 = 1,331$ aplicado incorretamente (exemplo: $3000\times1,331 - 4200 = -207$, não positivo). Ou talvez confundindo com juros simples.

Alternativa C — ❌ Incorreta. R$ 208,70 é próximo do valor de $3000\times1,1^4 - 4200$? Não, nosso cálculo deu exato 192,30. Essa diferença pode vir de arredondamento errado (ex.: usar $1,1^4 = 1,464$ sem os decimais).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO. Exatamente $3000 \times 1,4641 - 4200 = 192,30$.

Alternativa E — ❌ Incorreta. R$ 180,00 seria $4200 - 4020$ ou algo como 6% de R$ 3000, sem relação com o cálculo correto.

Gabarito: letra D.