Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu114070

Regra de três composta: problemas com tempo e trabalho

Gabarito: letra B — após as duas etapas, resta x/27 do trabalho. A chave é calcular quanto cada grupo produziu em relação ao total, usando a regra de três composta: a produção é diretamente proporcional ao número de funcionários, às horas por dia e aos dias trabalhados. O primeiro grupo (3 funcionários, 6 h/dia, 15 dias) realizou 2/9 do trabalho; o segundo grupo (5 funcionários, 4 h/dia, 45 dias) realizou uma fração que, somada à primeira, deixa apenas 1/27 do total pendente.

A ideia por trás

Este é um problema clássico de regra de três composta, onde a quantidade de trabalho produzida é diretamente proporcional a três fatores: número de funcionários, horas trabalhadas por dia e número de dias. Como todos os funcionários têm a mesma capacidade, podemos comparar as produções dos dois grupos diretamente.

O primeiro grupo produziu uma fração conhecida: 2/9 do trabalho. O segundo grupo produziu uma fração que precisamos descobrir. A razão entre as produções dos dois grupos é igual à razão entre os produtos (funcionários × horas/dia × dias) de cada grupo.

Vamos calcular:

Grupo 1: 3 funcionários × 6 h/dia × 15 dias = 270 "unidades de trabalho" → produziu 2/9 do total.
Grupo 2: 5 funcionários × 4 h/dia × 45 dias = 900 "unidades de trabalho" → produziu uma fração desconhecida.

Como a produção é diretamente proporcional a essas unidades, a fração produzida pelo grupo 2 é:

\frac{900}{270} \times \frac{2}{9} = \frac{10}{3} \times \frac{2}{9} = \frac{20}{27}

Portanto, o grupo 2 produziu 20/27 do trabalho. Somando as duas etapas:

\frac{2}{9} + \frac{20}{27} = \frac{6}{27} + \frac{20}{27} = \frac{26}{27}

O total realizado é 26/27, então o que resta é:

1 - \frac{26}{27} = \frac{1}{27}

Ou seja, resta x/27 do trabalho.

Produção de trabalho por grupos — só Grupo 1: 2/9; só Grupo 2: 20/27; Grupo 1∩Grupo 2: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que resta x/9. Esse valor corresponderia a uma produção total de 8/9, o que não ocorre. O erro aqui é subestimar a produção do segundo grupo: se o grupo 2 tivesse produzido apenas 2/9 (igual ao grupo 1), o total seria 4/9 e restaria 5/9, não x/9. A fração x/9 não tem relação direta com os cálculos corretos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. Como calculado, o grupo 1 produziu 2/9 e o grupo 2 produziu 20/27, totalizando 26/27. O que resta é exatamente 1/27 do trabalho, ou seja, x/27. A alternativa espelha corretamente o resultado da subtração.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que resta 2x/9. Esse valor seria o dobro do que realmente resta (1/27). A confusão aqui pode ser pensar que o grupo 2 produziu apenas 2/9 (igual ao grupo 1), o que daria um total de 4/9 e sobraria 5/9 — mas isso não corresponde a 2x/9. O valor 2x/9 não aparece em nenhuma etapa do cálculo correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que resta x/18. Esse valor é maior que o correto (1/27). Se o total produzido fosse 17/18, restaria 1/18, mas o total real é 26/27, que é maior que 17/18. A fração x/18 não tem fundamento nos dados do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que resta 2x/27. Esse valor é o dobro do correto (1/27). A confusão pode vir de um erro de cálculo na soma das frações: se alguém somasse 2/9 + 2/9 = 4/9 e depois subtraísse de 1, obteria 5/9, não 2/27. O valor 2x/27 não corresponde a nenhuma etapa correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a dificuldade de comparar as produções dos dois grupos. O candidato pode pensar que, como o grupo 2 tem mais funcionários e mais dias, ele produz muito mais — mas a conta exata é essencial. Aqui, o grupo 2 produz 20/27, que é quase o trabalho todo. Se você não fizer a regra de três composta, pode subestimar ou superestimar a produção do grupo 2, caindo em alternativas como x/9 ou 2x/9. Com treino, você enxerga que a comparação direta dos produtos (funcionários × horas × dias) resolve tudo 💪

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de regra de três composta com frações do trabalho, monte a razão entre as produções dos grupos e multiplique pela fração conhecida. Aqui, a razão entre os produtos é 900/270 = 10/3, e multiplicando por 2/9 obtemos 20/27. Depois, some as frações e subtraia de 1 para achar o resto. Esse método funciona para qualquer combinação de grupos.

Gabarito: letra B