Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8 mulheres (alternativa D).

A ideia por trás

Razão e proporção comparam duas grandezas: aqui, a quantidade de homens e de mulheres. Quando dizemos que a razão é 8/3, significa que para cada 8 homens há 3 mulheres; isso permite escrever as quantidades como múltiplos de uma constante k: H = 8k e M = 3k. A soma H + M é o total de funcionários, que permanece 132 mesmo após a transferência, pois cada homem dispensado é substituído por uma mulher contratada. Nesta questão, usamos a razão inicial para achar H e M, e depois impomos a nova razão 2 para descobrir quantas mulheres entram.

O que a questão dá

• total de funcionários = 132

• razão homens/mulheres = 8/3

• nova razão homens/mulheres = 2

O que queremos: o número de mulheres contratadas (x)

Passo 1 — Escrever homens e mulheres com a constante k

A razão 8/3 nos diz que, se multiplicarmos 8 e 3 por um mesmo número k, obtemos as quantidades reais de homens e mulheres. Isso transforma a razão em duas expressões algébricas que podemos somar.

Por que esta fórmula: Como a razão H/M = 8/3, então H = 8k e M = 3k, pois a razão entre 8k e 3k é 8/3.

De onde vem cada valor: $H$ = enunciado: razão homens/mulheres = 8/3 · $M$ = enunciado: razão homens/mulheres = 8/3 · $k$ = constante de proporcionalidade (a descobrir)

Passo 2 — Descobrir o valor de k usando o total

Sabemos que a soma de homens e mulheres é 132. Com as expressões do passo 1, podemos montar uma equação e achar k, que nos dará as quantidades iniciais.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes: H + M = 132. Substituindo H = 8k e M = 3k, obtemos 11k = 132.

De onde vem cada valor: $8k$ = passo 1: H = 8k · $3k$ = passo 1: M = 3k · $132$ = enunciado: total de funcionários = 132

Passo 3 — Calcular quantos homens e mulheres havia

Com k = 12, voltamos às expressões do passo 1 para saber quantos homens e mulheres existem antes da mudança. Esses valores serão usados na equação da nova razão.

Por que esta fórmula: Substituímos k na definição H = 8k e M = 3k.

De onde vem cada valor: $8$ = passo 1: H = 8k · $3$ = passo 1: M = 3k · $12$ = passo 2: k = 12

H = 96, M = 36

Passo 4 — Montar a equação da nova razão

Após dispensar x homens e contratar x mulheres, o número de homens vira 96 − x e o de mulheres vira 36 + x. A nova razão deve ser 2, então igualamos a fração a 2.

Por que esta fórmula: A razão homens/mulheres após a mudança é (96 − x)/(36 + x), e o enunciado diz que ela deve ser 2.

De onde vem cada valor: $96$ = passo 3: H = 96 · $36$ = passo 3: M = 36 · $x$ = número de homens dispensados e mulheres contratadas (incógnita) · $2$ = enunciado: nova razão homens/mulheres = 2

Passo 5 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo 4 relaciona x com os valores conhecidos. Isolando x, descobrimos quantas mulheres serão contratadas.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por (36 + x) para eliminar o denominador e depois isolamos x.

De onde vem cada valor: $96$ = passo 3: H = 96 · $x$ = incógnita · $2$ = passo 4: razão = 2 · $36$ = passo 3: M = 36

Resposta: 8 mulheres (alternativa D)